Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
lim x -infty x(raizx^2+1-2 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x -infty x(raizx^2+1 - 2x)
Esse problema envolve o cálculo de limites no infinito usando propriedades de funções algébricas e radicais. Para resolver, vamos precisar manipular a expressão para simplificar e eliminar a indeterminação que surge quando substituímos por .

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do limite. Note que temos uma raiz quadrada, então vamos racionalizar a expressão para facilitar a manipulação. Para isso, multiplicamos e dividimos pelo conjugado da expressão dentro do parêntese:
x(raizx^2+1 - 2x) times raizx^2+1 + 2xraizx^2+1 + 2x

Passo 3

Multiplicando no numerador, usamos a diferença de quadrados:
(raizx^2+1 - 2x)(raizx^2+1 + 2x) = (raizx^2+1)^2 - (2x)^2 = x^2 + 1 - 4x^2 = -3x^2 + 1
Então, a expressão fica:
x cdot -3x^2 + 1raizx^2+1 + 2x

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os termos pelo maior grau de raizx^2+1 = |x| raiz1 + 1x^2 que é raizx^2+1 = -x raiz1 + 1x^2 dentro da raiz. Para isso, fatoramos da raiz:
Como , (já que é negativo). Então:

Passo 5

Substituindo de volta na expressão:
x cdot -3x^2 + 1-x raiz1 + 1x^2 + 2x = x cdot -3x^2 + 1x(-raiz1 + 1x^2 + 2)
Simplificando -3x^2 + 1-raiz1 + 1x^2 + 2 :

Passo 6

Agora, dividimos o numerador e o denominador por -3 + 1x^2-raiz1 + 1x^2x^2 + 2x^2 :
-3 + 0-0 + 0 = -30
Quando , os termos tendem a 0. Então, a expressão simplifica para:

Passo 7

Interpretando o resultado, temos uma expressão que tende a porque dividimos um número negativo por um número que tende a zero. Portanto, o limite é:

Resposta

-infty

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