Utilize os limites fundamentais para calcular: lim x 0(1+4 x)^13 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício é de Cálculo de Limites, especificamente usando limites fundamentais. Para resolver isso, vamos precisar entender como funções exponenciais se comportam quando a variável se aproxima de um valor específico.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão para facilitar a visualização. Temos . Sabemos que limites do tipo quando são semelhantes à definição do número .

Passo 3

Lembra que a definição de pode ser expressa como . Aqui, nosso é 4 e o expoente tem um fator . Vamos ajustar a expressão para se encaixar nessa definição.

Passo 4

Vamos fazer uma substituição: seja (1 + 4x)^13x = (1 + 43y)^1y . Quando , também tende a 0. A expressão fica:
Agora, está no formato , onde .

Passo 5

Aplicando o limite fundamental, temos:
limy 0 (1 + 43y)^1y = e^43
Portanto, o limite original também será .

Resposta

lim x 0(1+4 x)^13 x = e^43

Exercícios relacionados