Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que o limite de quando tende a menos infinito é igual a zero, usando a definição em termos de . Isso está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a definição de limite no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando fica cada vez mais negativo e como podemos garantir que fique tão perto de zero quanto quisermos, desde que seja suficientemente grande em magnitude negativa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite no infinito. Dizemos que:
se, para todo , existir um número tal que, sempre que , temos:
No nosso caso, e . Então, precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que, se , então:
Passo 3
Vamos simplificar a expressão:
| 1x^3 | = 1|x|^3
Queremos que isso seja menor que 1|x|^3 < epsilon :
Passo 4
Agora, vamos resolver a inequação para 1|x|^3 < epsilon Rightarrow |x|^3 > 1epsilon :