Demonstre usando a definição: (em termo de epsilon )
O lim x -infty 1x^3=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para demonstrar que o limite de quando tende a menos infinito é igual a zero, usando a definição em termos de . Isso está relacionado ao cálculo de limites, especificamente usando a definição de limite no infinito. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta quando fica cada vez mais negativo e como podemos garantir que fique tão perto de zero quanto quisermos, desde que seja suficientemente grande em magnitude negativa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite no infinito. Dizemos que:
limx to -infty f(x) = L
se, para todo |f(x) - L| < epsilon , existir um número | 1x^3 - 0 | < epsilon tal que, sempre que , temos:
No nosso caso, e . Então, precisamos mostrar que para qualquer , existe um tal que, se , então:

Passo 3

Vamos simplificar a expressão:
| 1x^3 | = 1|x|^3
Queremos que isso seja menor que 1|x|^3 < epsilon :

Passo 4

Agora, vamos resolver a inequação para 1|x|^3 < epsilon Rightarrow |x|^3 > 1epsilon :
|x| > ( 1epsilon )^1/3
Tomando a raiz cúbica dos dois lados:
-x > ( 1epsilon )^1/3 Rightarrow x < -( 1epsilon )^1/3
Como tende a menos infinito, sabemos que é negativo, então . Portanto:

Passo 5

Então, podemos escolher | 1x^3 | < epsilon . Assim, sempre que , teremos:
Isso satisfaz a definição de limite, mostrando que se aproxima de zero à medida que tende a menos infinito.

Resposta

Portanto, demonstramos que:
limx to -infty 1x^3 = 0

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