Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de
pela direita da expressão
. Aqui, estamos trabalhando com Limites, um tópico fundamental em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como tratar expressões que podem resultar em indeterminações, como
, e usar técnicas para simplificar ou avaliar esses limites.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de
.
-
Numerador:Substituindo
na expressão dentro da raiz: Então,. -
Denominador:Substituindo
: Portanto, o denominador também tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos de uma técnica para resolver esse limite, como a regra de L’Hospital.
Passo 3
A Regra de L’Hospital é usada quando temos uma indeterminação do tipo
ou
. Ela nos diz que:
desde que esse segundo limite exista.
Vamos aplicar isso ao nosso caso:
-
Função no numerador:Derivada de
: -
Função no denominador:Derivada de
:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:
Passo 5
Vamos agora calcular esse novo limite:
Substituindo
:
Aqui, estamos dividindo um número positivo por algo que tende a zero, o que nos dá um resultado que tende ao infinito positivo.
Resposta
O limite é
.