Dos exercícios 16 a 25 calcule o valor do limite:
lim t -4^+ raiz16-t^24+t

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de pela direita da expressão . Aqui, estamos trabalhando com Limites, um tópico fundamental em Cálculo Diferencial. Para resolver, vamos precisar entender como tratar expressões que podem resultar em indeterminações, como , e usar técnicas para simplificar ou avaliar esses limites.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando 16 - (-4)^2 = 16 - 16 = 0 se aproxima de 4 + (-4) = 0 .
  • Numerador:
    Substituindo na expressão dentro da raiz:
    Então, .
  • Denominador:
    Substituindo :
    Portanto, o denominador também tende a 0.
Isso nos dá uma forma indeterminada , o que significa que precisamos de uma técnica para resolver esse limite, como a regra de L’Hospital.

Passo 3

A Regra de L’Hospital é usada quando temos uma indeterminação do tipo limt to a f(t)g(t) = limt to a f'(t)g'(t) ou f'(t) = ddt raiz16 - t^2 = -traiz16 - t^2 . Ela nos diz que:
g'(t) = ddt (4 + t) = 1
desde que esse segundo limite exista.
Vamos aplicar isso ao nosso caso:
  • Função no numerador:
    Derivada de :
  • Função no denominador:
    Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:
limt to -4^+ raiz16 - t^24 + t = limt to -4^+ f'(t)g'(t) = limt to -4^+ -traiz16 - t^21 = limt to -4^+ -traiz16 - t^2

Passo 5

Vamos agora calcular esse novo limite:
limt to -4^+ -traiz16 - t^2
Substituindo -(-4)raiz16 - (-4)^2 = 4raiz16 - 16 = 40 :
Aqui, estamos dividindo um número positivo por algo que tende a zero, o que nos dá um resultado que tende ao infinito positivo.

Resposta

O limite é .

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