Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x = x(t). Determine x = x(t) sabendo que:
dx/dt = 1/(1+t^2) e x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula que se move ao longo do eixo e nos dá a velocidade dela, que é a derivada da posição em relação ao tempo, ou seja, . Nosso objetivo é encontrar a função posição . Para isso, vamos precisar usar o conceito de integração, que é basicamente o processo inverso da derivada.

Passo 2

Primeiro, sabemos que . Para encontrar , precisamos integrar essa expressão em relação a . A integral de é uma função que, quando derivada, nos dá de volta .

Passo 3

A gente lembra que a integral de é mais uma constante de integração . Então, temos:
Aqui, é a função tangente inversa de .

Passo 4

Agora, usamos a condição inicial que nos foi dada: . Isso significa que, quando , a posição é zero. Vamos substituir esses valores na nossa equação para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

Portanto, a função posição da partícula é:

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