Nos Exercícios de 21 a 24, ache o fluxo de
através da superficie
onde
dá o campo de velocidades de um fluido.
;
é aquelà parte da esfera
que está acima da região no plano
, encerrada pela circunferếncia
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o fluxo do campo de velocidades
através de uma superfície
. A superfície
é a parte da esfera
que está acima da região no plano
delimitada pelo círculo
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.
Passo 2
Vamos começar visualizando a superfície
. Temos uma esfera com raio
(já que
) e queremos a parte dela que está acima do disco no plano
definido por
(raio
). Isso significa que nossa superfície
é como uma “tampa” esférica acima desse disco.
Passo 3
Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de fluxo através de uma superfície:
onde
é o vetor normal unitário à superfície
.
Passo 4
No caso de uma esfera, o vetor normal unitário
no ponto
é simplesmente
, onde
é o raio da esfera. Aqui,
, então:
Passo 5
Vamos calcular o produto escalar
:
Perceba que os termos
e
se cancelam.
Passo 6
Agora, o fluxo fica:
Precisamos calcular a integral dupla de
sobre a superfície
.
Passo 7
Para simplificar, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas,
, onde
. A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então,
Passo 8
Vamos determinar os limites de integração. O raio do círculo no plano
é
, então na esfera:
Em coordenadas esféricas, isso corresponde a:
Então,
varia de
a
e
varia de
a
.
Passo 9
Agora, integramos:
Primeiro, integramos em relação a
:
Avaliado entre
e
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
unidades de fluxo.