Nos Exercícios de 21 a 24, ache o fluxo de F através da superficie S onde F(x, y, z) dá o campo de velocidades de um fluido.
F(x, y, z) = -2y i + 2x j + 5 k; S é aquelà parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 que está acima da região no plano x y, encerrada pela circunferếncia x^2 + y^2 = 9.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o fluxo do campo de velocidades através de uma superfície S. A superfície S é a parte da esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 que está acima da região no plano xy delimitada pelo círculo x^2 + y^2 = 9. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de fluxo através de superfícies.

Passo 2

Vamos começar visualizando a superfície S. Temos uma esfera com raio (já que ) e queremos a parte dela que está acima do disco no plano xy definido por x^2 + y^2 = 9 (raio ). Isso significa que nossa superfície S é como uma “tampa” esférica acima desse disco.

Passo 3

Para calcular o fluxo, podemos usar a definição de fluxo através de uma superfície:
onde n é o vetor normal unitário à superfície S.

Passo 4

No caso de uma esfera, o vetor normal unitário n no ponto (x, y, z) é simplesmente , onde R é o raio da esfera. Aqui, , então:

Passo 5

Vamos calcular o produto escalar :
Perceba que os termos e se cancelam.

Passo 6

Agora, o fluxo fica:
Precisamos calcular a integral dupla de z sobre a superfície S.

Passo 7

Para simplificar, podemos usar coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, , onde . A área diferencial em coordenadas esféricas é:
Então,

Passo 8

Vamos determinar os limites de integração. O raio do círculo no plano xy é , então na esfera:
Em coordenadas esféricas, isso corresponde a:
Então, phi varia de 0 a e theta varia de 0 a .

Passo 9

Agora, integramos:
Primeiro, integramos em relação a phi:
Avaliado entre 0 e :

Passo 10

Agora, integramos em relação a theta:

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é unidades de fluxo.

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