Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície integral duplaS G d s, para G e S d
G(x, y, z)=x^2 ; S é a parte do cilindro x^2+y^2=1 entre o plano x y e o plano z=1 no primeiro octante.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS G, dS, onde G(x, y, z) = x^2. A superfície S é a parte do cilindro x^2+y^2=1 que está entre o plano xy (onde z=0) e o plano z=1, especificamente no primeiro octante (onde x, y e z são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrização de superfícies cilíndricas.

Passo 2

Vamos começar parametrizando a superfície S. Como S é parte do cilindro x^2+y^2=1, é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta
y = r sintheta
z = z
Para o cilindro x^2+y^2=1, o raio r = 1. Então, a parametrização da superfície S fica:
r(theta, z) = lang<= costheta, sintheta, z rang<=
Onde theta varia de 0 a pi2 (como estamos no primeiro octante) e z varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o elemento de área dS para essa parametrização. Para uma superfície parametrizada por (theta, z), o elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação a theta e z.
Calculando as derivadas parciais:
partial rpartial theta = lang<= -sintheta, costheta, 0 rang<=
partial rpartial z = lang<= 0, 0, 1 rang<=
O produto vetorial dessas derivadas é:
partial rpartial theta times partial rpartial z = lang<= costheta, sintheta, 0 rang<=
O módulo desse vetor é:
| partial rpartial theta times partial rpartial z | = raizcos^2theta + sin^2theta = 1
Portanto, o elemento de área é dS = 1 cdot dtheta dz = dtheta dz.

Passo 4

Agora, substituímos a função G(x,y,z) = x^2 na parametrização que fizemos:
G(theta, z) = (costheta)^2
Assim, a integral de superfície se transforma em:
integral duplaS G , dS = integral0^1 integral0^pi2 (costheta)^2 , dtheta , dz

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a theta:
integral0^pi2 cos^2theta , dtheta
Usamos a identidade trigonométrica:
cos^2theta = 1 + cos(2theta)2
Substituindo na integral:
integral0^pi2 1 + cos(2theta)2 , dtheta = 12 integral0^pi2 1 , dtheta + 12 integral0^pi2 cos(2theta) , dtheta
Calculando cada parte:
12 integral0^pi2 1 , dtheta = 12 cdot pi2 = pi4
12 integral0^pi2 cos(2theta) , dtheta = 12 cdot sin(2theta)2 |0^pi2 = 14 [sin(pi) - sin(0)] = 0
Portanto, a integral interna resulta em pi4.

Passo 6

Agora, integramos em relação a z:
integral0^1 pi4 , dz = pi4 cdot (1 - 0) = pi4

Resposta

A integral de superfície integral duplaS G , dS é igual a pi4.

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