Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície , para e d é a parte do cilindro entre o plano e o plano no primeiro octante.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície , onde . A superfície é a parte do cilindro que está entre o plano (onde ) e o plano , especificamente no primeiro octante (onde , e são positivos). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de superfície e parametrização de superfícies cilíndricas.
Passo 2
Vamos começar parametrizando a superfície . Como é parte do cilindro , é conveniente usar coordenadas cilíndricas. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Para o cilindro , o raio . Então, a parametrização da superfície fica:
Onde varia de a (como estamos no primeiro octante) e varia de a .
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o elemento de área para essa parametrização. Para uma superfície parametrizada por , o elemento de área é dado pelo módulo do produto vetorial dos vetores derivadas parciais em relação a e .
Calculando as derivadas parciais:
O produto vetorial dessas derivadas é:
O módulo desse vetor é:
Portanto, o elemento de área é dS = 1 cdot dtheta dz = dtheta dz.
Passo 4
Agora, substituímos a função G(x,y,z) = x^2 na parametrização que fizemos:
G(theta, z) = (costheta)^2
Assim, a integral de superfície se transforma em:
integral duplaS G , dS = integral0^1 integral0^pi2 (costheta)^2 , dtheta , dz
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a theta: