Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície , para e d é a parte do plano no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de superfície , onde e é a parte do plano que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos maiores ou iguais a zero). Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do plano: . Podemos reescrever essa equação para encontrar em função de e :
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de e .
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para e no primeiro octante. Como deve ser maior ou igual a zero:
Vamos desenhar essa desigualdade no plano para encontrar os limites:
Quando , .
Quando , .
Então, varia de 0 a 3, e para cada , varia de 0 a .
Passo 4
Para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área . Como está expressa em função de e , usamos a fórmula: