Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície integral duplaS G d s, para G e S d
G(x, y, z)=z ; S é a parte do plano 2 x+3 y+z=6 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcularmos a integral de superfície , onde e é a parte do plano que está no primeiro octante (ou seja, onde , e são todos maiores ou iguais a zero). Vamos usar conceitos de cálculo de integrais de superfície para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do plano: z = 6 - 2x - 3y . Podemos reescrever essa equação para encontrar em função de e :
Isso nos ajuda a parametrizar a superfície em termos de e .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para 6 - 2x - 3y >= 0 Rightarrow 2x + 3y <= 6 e no primeiro octante. Como deve ser maior ou igual a zero:
Vamos desenhar essa desigualdade no plano para encontrar os limites:
  1. Quando , .
  2. Quando , .
Então, varia de 0 a 3, e para cada , varia de 0 a .

Passo 4

Para calcular a integral de superfície, precisamos achar o elemento de área dS = raiz(partial zpartial x)^2 + (partial zpartial y)^2 + 1 , dx , dy . Como partial zpartial x = -2 e partial zpartial y = -3 está expressa em função de dS = raiz(-2)^2 + (-3)^2 + 1 , dx , dy = raiz4 + 9 + 1 , dx , dy = raiz14 , dx , dy e , usamos a fórmula:
Calculando as derivadas parciais:
Então,

Passo 5

Agora, substituímos integral duplaS G , dS = integral duplaD (6 - 2x - 3y) raiz14 , dx , dy e na integral de superfície:
Onde é a região no plano definida por e .

Passo 6

Vamos fatorar raiz14 integral duplaD (6 - 2x - 3y) , dx , dy para facilitar a integração:
integral0^3 [ integral0^6 - 2x3 (6 - 2x - 3y) , dy ] dx
Primeiro, integramos em relação a integral (6 - 2x - 3y) , dy = (6 - 2x)y - 32y^2 |0^6 - 2x3 :
(6 - 2x)(6 - 2x3) - 32(6 - 2x3)^2
Calculando a integral interna:
(6 - 2x)^23 - (6 - 2x)^26 = (6 - 2x)^26
Substituindo os limites:
Simplificando:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na integral externa:
raiz14 integral0^3 (6 - 2x)^26 , dx = raiz146 integral0^3 (6 - 2x)^2 , dx
Vamos expandir (6 - 2x)^2 = 36 - 24x + 4x^2 :
raiz146 integral0^3 (36 - 24x + 4x^2) , dx
Então, a integral fica:
raiz146 [ 36x - 12x^2 + 43x^3 ]0^3
Integrando termo a termo:
36(3) - 12(3)^2 + 43(3)^3 = 108 - 108 + 36 = 36
Substituindo raiz146 times 36 = 6raiz14 :
E para , tudo é zero. Então, o resultado da integral é:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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