(x - y cos(x)) dx - sen(x) y' = 0, y(pi/2) = 1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou é uma equação diferencial com uma condição inicial. Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e precisamos encontrar a função que satisfaz a equação dada e passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma que fique mais fácil de identificar o tipo. A equação que temos é:
Vamos reorganizar para isolar :
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, vamos dividir ambos os lados por :
Isso nos dá a equação na forma , que é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem.

Passo 3

Identificando e na nossa equação:
Aqui, e .
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos um fator integrante que é dado por:
Vamos calcular esse fator integrante.

Passo 4

Calculando o fator integrante :
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto , ou seja:

Passo 5

Integrando ambos os lados para encontrar :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, isolamos :
Simplificando:

Passo 7

Usamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:
Isolando :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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