Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado que você me mandou é uma equação diferencial com uma condição inicial. Estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e precisamos encontrar a função
que satisfaz a equação dada e passa pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar rearranjar a equação e aplicar métodos de resolução de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação de uma forma que fique mais fácil de identificar o tipo. A equação que temos é:
Vamos reorganizar para isolar
:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Isso nos dá a equação na forma
, que é a forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem.
Passo 3
Identificando
e
na nossa equação:
Aqui,
e
.
Para resolver uma equação diferencial linear, usamos um fator integrante
que é dado por:
Vamos calcular esse fator integrante.
Passo 4
Calculando o fator integrante
:
Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Simplificando:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
, ou seja:
Passo 5
Integrando ambos os lados para encontrar
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, isolamos
:
Simplificando:
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Isolando
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: