Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d)
sobre um objeto que se move sobre a hélice
,
.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força específico quando um objeto se move ao longo de uma hélice. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através da integral de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho
realizado por um campo de força
ao mover um objeto ao longo de um trajeto
é dado por:
Onde
é o caminho seguido pelo objeto.
Passo 3
Nosso campo de força é
e a trajetória é a hélice definida por
, com
variando de
a
.
Passo 4
Vamos parametrizar a trajetória substituindo
na função
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 6
O próximo passo é calcular o produto interno (dot product) entre
e
:
Passo 7
Sabemos que
, então simplificamos a expressão:
Passo 8
Agora, integramos essa expressão de
até
para encontrar o trabalho:
Passo 9
Realizando a integral:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo de força é
.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva
Nos exercícios 22 a 29 , use a fórmula
, quando
, para obter uma série de potências que represente cada expressão, especificando os valores de
para os quais a representação é válida.
22)
22)
Calcule cada integral abaixo utilizando o método das frações parciais
© onde
©
Exercício 7 Utilize o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada:
a) , em que C é o círculo de raio 1 e centro na origem, percorrido no sentido anti-horário.
a)