Exercício 2 Determine o trabalho realizado pelo campo de força:
d) F(x, y, z) = -y i + x j + z k sobre um objeto que se move sobre a hélice r(t) = cos(t) * i + sen(t) * j + t * k, 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A questão pede para determinar o trabalho realizado por um campo de força específico quando um objeto se move ao longo de uma hélice. Vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de trabalho através da integral de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é trabalho em termos de campos de força. O trabalho realizado por um campo de força ao mover um objeto ao longo de um trajeto é dado por:
Onde é o caminho seguido pelo objeto.

Passo 3

Nosso campo de força é e a trajetória é a hélice definida por , com variando de a .

Passo 4

Vamos parametrizar a trajetória substituindo na função :

Passo 5

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a :

Passo 6

O próximo passo é calcular o produto interno (dot product) entre e :

Passo 7

Sabemos que , então simplificamos a expressão:

Passo 8

Agora, integramos essa expressão de até para encontrar o trabalho:

Passo 9

Realizando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo de força é .

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