Nos Exercícios 73-76, use o Método de Euler para fazer uma tabela de valores para a solução aproximada da equação diferencial com o valor inicial especificado. Use n passos de tamanho h.
74. y' = x + y, y(0) = 2, n = 20, h = 0.05

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para usar o Método de Euler para aproximar a solução da equação diferencial com a condição inicial . O método de Euler é uma técnica numérica para resolver equações diferenciais, e vamos precisar seguir alguns passos com passos de tamanho .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Euler. Ele é uma forma de aproximar soluções de equações diferenciais usando pequenos passos. A ideia é usar a inclinação (derivada) para estimar o próximo valor de com base no valor atual.
A fórmula básica do Método de Euler é:
Aqui, é o valor atual, é o próximo valor que queremos encontrar, é o tamanho do passo, e é a função que define a derivada, no nosso caso .

Passo 3

Vamos começar com a condição inicial fornecida: . Isso significa que no ponto , o valor de é 2.

Passo 4

Agora, vamos calcular o próximo valor usando o Método de Euler. Usando a fórmula:
Substituindo os valores:
E o próximo será:

Passo 5

Vamos repetir esse processo para cada passo até . Para cada novo e , aplicamos a fórmula de Euler para encontrar :
Fazendo isso iterativamente, construímos uma tabela com os valores aproximados de para cada .

Resposta

Após aplicar o Método de Euler com passos de tamanho , a tabela de valores aproximados para a solução da equação diferencial com está construída seguindo os passos acima. O valor final aproximado em é .

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