(Convergência e Divergência) Quais das sequências a_n a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
a_n = (n + 4)^(1/(n + 4))

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente analisar a sequência e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites e comportamento de sequências.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a sequência representa. Basicamente, estamos elevando o número a uma potência que diminui conforme aumenta, já que o expoente é .

Passo 3

Para analisar o limite dessa sequência quando tende ao infinito, vamos simplificar a expressão. Vamos chamar . Assim, quando cresce, também cresce para o infinito. A sequência fica então:

Passo 4

Agora, queremos calcular:
Para resolver esse limite, podemos usar o fato de que pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural:

Passo 5

Então, precisamos calcular:
Primeiro, vamos encontrar o limite do expoente:
Sabemos que cresce mais lentamente que , então:

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão original:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é 1.

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