(Convergência e Divergência) Quais das sequências
a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente analisar a sequência
e descobrir se ela converge ou diverge. Se ela convergir, precisamos encontrar o limite dessa sequência. Para isso, vamos usar conceitos de análise de limites e comportamento de sequências.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a sequência
representa. Basicamente, estamos elevando o número
a uma potência que diminui conforme
aumenta, já que o expoente é
.
Passo 3
Para analisar o limite dessa sequência quando
tende ao infinito, vamos simplificar a expressão. Vamos chamar
. Assim, quando
cresce,
também cresce para o infinito. A sequência fica então:
Passo 4
Agora, queremos calcular:
Para resolver esse limite, podemos usar o fato de que
pode ser reescrito usando a função exponencial e o logaritmo natural:
Passo 5
Então, precisamos calcular:
Primeiro, vamos encontrar o limite do expoente:
Sabemos que
cresce mais lentamente que
, então:
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão original:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é 1.
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Nos Exercícios 73-76, use o Método de Euler para fazer uma tabela de valores para a solução aproximada da equação diferencial com o valor inicial especificado. Use
passos de tamanho
.
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(Convergência e Divergência) Quais das sequências
a seguir convergem e quais divergem? Encontre o limite de cada sequência convergente.
Calcule
, onde
é uma curva cuja imagem é o triângulo eierices
e
, orientada no sentido anti-horário.