Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{1+x}{1+x^{2}} d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar algebra básica para simplificar a expressão e técnicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Podemos dividir o numerador pelo denominador separando os termos:
Isso nos permite lidar com duas integrais separadas.

Passo 3

Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
A primeira integral é uma forma padrão que sabemos resolver usando funções trigonométricas inversas.

Passo 4

A integral de é conhecida:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Para a segunda integral, , podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar , então , ou seja, .

Passo 6

Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int_{-1}^{2}(x-2|x|) d x
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int_{0}{1}\left(x{1} 0+10^{x}\right), d x
Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int x(2 x+5)^{8} d x
Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto . é o conjunto do todos os pontos tais que .