Encontre a integral pedida. Calcule a integral: $\int \frac{1+x}{1+x^{2}} d x
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
. Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente integrando uma fração onde o numerador e o denominador são polinômios. Para resolver, vamos precisar usar algebra básica para simplificar a expressão e técnicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Podemos dividir o numerador pelo denominador separando os termos:
Isso nos permite lidar com duas integrais separadas.
Passo 3
Agora, vamos integrar cada termo individualmente:
A primeira integral é uma forma padrão que sabemos resolver usando funções trigonométricas inversas.
Passo 4
A integral de
é conhecida:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Para a segunda integral,
, podemos usar uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos:
Passo 7
Agora, juntando as duas integrais que calculamos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.
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Nos exercícios abaixo, calcule a área do conjunto
.
é o conjunto do todos os pontos
tais que
.