Nos exercícios abaixo, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo y, da região delimitada pelos gráficos das equações abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos a região delimitada pelas equações , e em torno do eixo . Para isso, vamos usar o método dos discos, que é uma técnica de cálculo para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as curvas envolvidas. Temos três equações:
: Essa é uma reta que desce conforme aumenta.
: Essa é a reta vertical do eixo .
: Essa é a reta horizontal do eixo .
Vamos esboçar o gráfico para visualizar a região que vamos girar.
Passo 3
Vamos determinar os pontos de interseção para saber os limites de integração. Igualando com :
Então, a região que vamos considerar está entre e .
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos discos. A ideia é integrar a área de discos circulares infinitamente finos ao longo do eixo . A fórmula para o volume é:
Onde é o raio do disco em cada posição .
Passo 5
No nosso caso, o raio é a distância do eixo até a curva . Então,
E os limites de integração são de até .
Passo 6
Vamos substituir na fórmula do volume:
Agora, vamos expandir o termo dentro da integral para facilitar a computação: