Um lago deve receber certa espécie de peixe. 0 alimento contido em 500 pés cúbicos de água do lago pode sustentar adequadamente um peixe. 0 lago é quase circular, tem 20 pés de profundidade no centro e raio de 200 pés. 0 fundo do lago admite como modelo
y = 20 * [(0,005 * x)^{2} - 1]
Quanta água há no lago?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago que é quase circular, com um raio de 200 pés e uma profundidade de 20 pés no centro. O fundo do lago é modelado pela equação:
onde representa a profundidade em função da distância a partir do centro. Nosso objetivo é descobrir quanta água há nesse lago, ou seja, calcular o volume de água presente nele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o lago. Como é quase circular, podemos imaginar como se fosse um disco com raio de 200 pés. A profundidade varia conforme saímos do centro, seguindo a equação dada. Para encontrar o volume de água, precisamos integrar essa profundidade em todas as direções do lago.

Passo 3

Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o lago é circular. Em coordenadas polares, cada pequeno pedaço de água pode ser pensado como um anel com raio e espessura . A área desse anel é aproximada por .

Passo 4

A profundidade nesse ponto é dada pela função . Então, o volume desse anel pequeno de água é a área do anel multiplicada pela profundidade:

Passo 5

Para encontrar o volume total do lago, vamos integrar essa expressão desde o centro ( ) até a borda ( pés):

Passo 6

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Aqui, multiplicamos por 20 para obter 40\pi, e simplificamos o termo que resulta em 0,000025.

Passo 7

Agora, vamos calcular a integral:
Onde é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 200:
Simplificando:

Passo 9

Multiplicando os valores:
éú
Se preferir um valor numérico aproximado, considerando :
éú

Resposta

O lago contém aproximadamente pés cúbicos de água, o que equivale a cerca de 2.387.696 pés cúbicos.

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