Um lago deve receber certa espécie de peixe. 0 alimento contido em 500 pés cúbicos de água do lago pode sustentar adequadamente um peixe. 0 lago é quase circular, tem 20 pés de profundidade no centro e raio de 200 pés. 0 fundo do lago admite como modelo
Quanta água há no lago?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago que é quase circular, com um raio de 200 pés e uma profundidade de 20 pés no centro. O fundo do lago é modelado pela equação:
onde
representa a profundidade em função da distância
a partir do centro. Nosso objetivo é descobrir quanta água há nesse lago, ou seja, calcular o volume de água presente nele. Para isso, vamos usar conceitos de geometria e cálculo integral.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o lago. Como é quase circular, podemos imaginar como se fosse um disco com raio de 200 pés. A profundidade varia conforme saímos do centro, seguindo a equação dada. Para encontrar o volume de água, precisamos integrar essa profundidade em todas as direções do lago.
Passo 3
Vamos usar coordenadas polares para facilitar a integração, já que o lago é circular. Em coordenadas polares, cada pequeno pedaço de água pode ser pensado como um anel com raio
e espessura
. A área desse anel é aproximada por
.
Passo 4
A profundidade nesse ponto
é dada pela função
. Então, o volume desse anel pequeno de água é a área do anel multiplicada pela profundidade:
Passo 5
Para encontrar o volume total do lago, vamos integrar essa expressão desde o centro (
) até a borda (
pés):
Passo 6
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Aqui, multiplicamos
por 20 para obter 40\pi, e simplificamos o termo
que resulta em 0,000025.
Passo 7
Agora, vamos calcular a integral:
Onde
é a constante de integração, que não precisamos considerar aqui porque vamos avaliar a integral definida.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 200:
Simplificando:
Passo 9
Multiplicando os valores:
Se preferir um valor numérico aproximado, considerando
:
Resposta
O lago contém aproximadamente
pés cúbicos de água, o que equivale a cerca de 2.387.696 pés cúbicos.