Um lago deve receber certa espécie de peixe. 0 alimento contido em 500 pés cúbicos de água do lago pode sustentar adequadamente um peixe. 0 lago é quase circular, tem 20 pés de profundidade no centro e raio de 200 pés. 0 fundo do lago admite como modelo
Estime o número máximo de peixes que o lago comporta.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um lago quase circular com raio de 200 pés e profundidade máxima de 20 pés no centro. O fundo do lago é modelo por uma função matemática que descreve como a profundidade varia conforme nos afastamos do centro. Além disso, sabemos que cada peixe precisa de 500 pés cúbicos de água para ser sustentado. Nosso objetivo é calcular quantos peixes o lago pode suportar no total.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o volume total de água no lago. Para isso, vamos usar a função que descreve a profundidade do lago:
Aqui,
representa a profundidade em pés e
é a distância a partir do centro do lago em pés. Essa função nos mostra que a profundidade diminui à medida que nos afastamos do centro.
Passo 3
Como o lago é quase circular, é mais fácil calcular o volume usando coordenadas polares. A fórmula para o volume
em coordenadas polares é:
Onde
é a distância do centro e
é o ângulo.
Passo 4
Substituindo a função de profundidade na fórmula do volume:
Isso simplifica para:
Passo 5
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Calculando:
Passo 6
Agora, resolvemos a integral externa em relação a
:
Aproximando
por 3,14:
Passo 7
Finalmente, para encontrar o número máximo de peixes que o lago pode suportar, dividimos o volume total de água pelo volume necessário por peixe:
Resposta
O lago pode comportar no máximo 2.512 peixes.