Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície integral duplaS G d s, para G e S d
G(x, y, z)=x+2 y-z ; S é a parte do plano x+y+ +z=2 no primeiro octante.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície integral duplaS G , dS, onde G(x, y, z) = x + 2y - z. A superfície S é a parte do plano x + y + z = 2 que está no primeiro octante (onde x, y e z são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e como calcular integrais de superfície sobre planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a região do primeiro octante onde o plano x + y + z = 2 está localizado. No primeiro octante, todas as coordenadas são não negativas ( x >= 0, y >= 0, z >= 0). Para encontrar os limites de integração, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para z:
z = 2 - x - y
Isso nos mostra que, para cada ponto (x, y) no plano xy, z é determinado como 2 - x - y. Agora, precisamos determinar os limites de x e y que mantêm z >= 0.

Passo 3

Para garantir que z >= 0, temos:
2 - x - y >= 0 x + y <= 2
No primeiro octante, x >= 0 e y >= 0. Portanto, a região de integração no plano xy é um triângulo com vértices em (0,0), (2,0) e (0,2). Agora, podemos expressar a integral de superfície como uma integral dupla sobre essa região.

Passo 4

A fórmula geral para a integral de superfície sobre um plano z = f(x,y) é:
integral duplaS G , dS = integral duplaD G(x, y, f(x,y)) raiz1 + (partial fpartial x)^2 + (partial fpartial y)^2 , dx , dy
No nosso caso, f(x,y) = 2 - x - y. Vamos calcular as derivadas parciais:
partial fpartial x = -1 partial fpartial y = -1
Então, o termo sob a raiz fica:
raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 + 1 = raiz3
Substituindo G(x, y, z) = x + 2y - z e z = 2 - x - y, temos:
G(x, y, z) = x + 2y - (2 - x - y) = 2x + 3y - 2
Portanto, a integral se torna:
integral duplaD (2x + 3y - 2) raiz3 , dx , dy

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região triangular D definida por x >= 0, y >= 0 e x + y <= 2. Podemos usar limites de integração do tipo x variando de 0 a 2 e, para cada x, y variando de 0 a 2 - x.
A integral fica:
raiz3 integral0^2 integral0^2 - x (2x + 3y - 2) , dy , dx
Vamos resolver a integral interna em y primeiro:
integral0^2 - x (2x + 3y - 2) , dy = [2x y + 32 y^2 - 2y ]0^2 - x = 2x(2 - x) + 32(2 - x)^2 - 2(2 - x)
Simplificando:
= 4x - 2x^2 + 32(4 - 4x + x^2) - 4 + 2x = 4x - 2x^2 + 6 - 6x + 32x^2 - 4 + 2x = (4x - 6x + 2x) + (-2x^2 + 32x^2) + (6 - 4) = 0x - 12x^2 + 2 = 2 - 12x^2
Agora, a integral externa em x:
raiz3 integral0^2 (2 - 12x^2 ) dx = raiz3 [2x - 16x^3 ]0^2 = raiz3 (4 - 86 ) = raiz3 (4 - 43 ) = raiz3 (123 - 43 ) = raiz3 cdot 83 = 8raiz33

Resposta

A integral de superfície integral duplaS G , dS é igual a dfrac8raiz33.

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