Nos exercícios de 1 a 6 , calcule a integral de superfície
, para
e
d
é a parte do plano
no primeiro octante.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral de superfície
, onde
. A superfície
é a parte do plano
que está no primeiro octante (onde
,
e
são positivos). Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar a superfície e como calcular integrais de superfície sobre planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a região do primeiro octante onde o plano
está localizado. No primeiro octante, todas as coordenadas são não negativas (
,
,
). Para encontrar os limites de integração, podemos resolver para uma das variáveis em termos das outras. Vamos resolver para
:
Isso nos mostra que, para cada ponto
no plano
,
é determinado como
. Agora, precisamos determinar os limites de
e
que mantêm
.
Passo 3
Para garantir que
, temos:
No primeiro octante,
e
. Portanto, a região de integração no plano
é um triângulo com vértices em
,
e
. Agora, podemos expressar a integral de superfície como uma integral dupla sobre essa região.
Passo 4
A fórmula geral para a integral de superfície sobre um plano
é:
No nosso caso,
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Então, o termo sob a raiz fica:
Substituindo
e
, temos:
Portanto, a integral se torna:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral dupla sobre a região triangular
definida por
,
e
. Podemos usar limites de integração do tipo
variando de
a
e, para cada
,
variando de
a
.
A integral fica:
Vamos resolver a integral interna em
primeiro:
Simplificando:
Agora, a integral externa em
:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.