Exercícios 3 a 5: São dados uma função y = f(x) e os valores de x0 e x1.
a) Encontre a taxa de variação média de y em relação a x no intervalo [x0, x1].
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a x no valor especificado de x_0.
5. y = 1/x;

Passo 1

Vamos resolver o exercício onde temos a função e queremos encontrar:
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto .
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial relacionados à variação média e à derivada.

Passo 2

a) Taxa de variação média
A taxa de variação média de uma função entre dois pontos nos diz como a função está mudando, em média, entre esses pontos. Ela é calculada pela diferença das ordenadas (valores de ) dividida pela diferença das abscissas (valores de ).
A fórmula é:
çãé
Aplicando essa fórmula à função :
  1. Calculamos e .
  2. Substituímos na fórmula:
çãé
  1. Simplificamos o numerador:
  1. Substituímos de volta:
çãé

Passo 3

b) Taxa de variação instantânea
A taxa de variação instantânea é a derivada da função em um ponto específico. Ela nos dá a inclinação da tangente à curva da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando exatamente naquele ponto.
Para encontrar a derivada de :
  1. Reescrevemos a função como .
  2. Aplicamos a regra de derivação para potências:
  1. Avaliamos a derivada no ponto :

Resposta

a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo é .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto é .

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