Exercícios 3 a 5: São dados uma função os valores de .
a) Encontre a taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) Encontre a taxa de variação instantânea de y em relação a no valor especificado de .
5. ;
Passo 1
Vamos resolver o exercício onde temos a função e queremos encontrar:
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto .
Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial relacionados à variação média e à derivada.
Passo 2
a) Taxa de variação média
A taxa de variação média de uma função entre dois pontos nos diz como a função está mudando, em média, entre esses pontos. Ela é calculada pela diferença das ordenadas (valores de ) dividida pela diferença das abscissas (valores de ).
A fórmula é:
Aplicando essa fórmula à função :
Calculamos e .
Substituímos na fórmula:
Simplificamos o numerador:
Substituímos de volta:
Passo 3
b) Taxa de variação instantânea
A taxa de variação instantânea é a derivada da função em um ponto específico. Ela nos dá a inclinação da tangente à curva da função nesse ponto, ou seja, como a função está mudando exatamente naquele ponto.
Para encontrar a derivada de :
Reescrevemos a função como .
Aplicamos a regra de derivação para potências:
Avaliamos a derivada no ponto :
Resposta
a) A taxa de variação média de em relação a no intervalo é .
b) A taxa de variação instantânea de em relação a no ponto é .