Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
f(x, y) = raiz(9 - x^2 - y^2)

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. Temos a função e precisamos descobrir várias características dela: o domínio, a imagem, as curvas de nível, a fronteira do domínio, se o domínio é uma região aberta ou fechada, e se é limitado ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise multivariável, como definição de domínio, imagem, e propriedades de conjuntos no plano.

Passo 2

Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Isso implica que:
Esse é o equacionamento de um círculo com raio 3 centrado na origem.

Passo 3

Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, e o maior valor dentro da raiz é 9 (quando ), temos:
Então, a imagem é o intervalo .

Passo 4

Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano onde a função assume um valor constante :
Essas são círculos com raio , para .

Passo 5

Agora, encontraremos a fronteira do domínio. A fronteira é o conjunto de pontos que estão “na borda” do domínio. No nosso caso, a fronteira é o círculo onde .

Passo 6

Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Como o domínio inclui a fronteira , ele é uma região fechada.

Passo 7

Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Como o domínio está contido dentro de um círculo de raio 3, ele está limitado.

Resposta

(a) O domínio de é o conjunto ;
(b) A imagem da função é o intervalo ;
© As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio para ;
(d) A fronteira do domínio é o círculo ;
(e) O domínio é uma região fechada;
(f) O domínio é limitado.

Exercícios relacionados