Nos exercícios a seguir,(a) encontre o domínio da função,(b) encontre a imagem da função,© descreva as curvas de nível da função,(d) encontre a fronteira do domínio da função,(e) determine se o domínio é uma região aberta, uma região fechada ou nenhuma das duas e (f) decida se o domínio é limitado ou não limitado.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o exercício que você enviou. Temos a função
e precisamos descobrir várias características dela: o domínio, a imagem, as curvas de nível, a fronteira do domínio, se o domínio é uma região aberta ou fechada, e se é limitado ou não. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise multivariável, como definição de domínio, imagem, e propriedades de conjuntos no plano.
Passo 2
Vamos começar encontrando o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os pares
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, a expressão dentro dela precisa ser maior ou igual a zero:
Isso implica que:
Esse é o equacionamento de um círculo com raio 3 centrado na origem.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem são todos os possíveis valores que
pode assumir. Como a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo, e o maior valor dentro da raiz é 9 (quando
), temos:
Então, a imagem é o intervalo
.
Passo 4
Vamos descrever as curvas de nível da função. As curvas de nível são as curvas no plano
onde a função assume um valor constante
:
Essas são círculos com raio
, para
.
Passo 5
Agora, encontraremos a fronteira do domínio. A fronteira é o conjunto de pontos que estão “na borda” do domínio. No nosso caso, a fronteira é o círculo onde
.
Passo 6
Vamos determinar se o domínio é uma região aberta, fechada ou nenhuma das duas. Como o domínio inclui a fronteira
, ele é uma região fechada.
Passo 7
Por último, vamos decidir se o domínio é limitado ou não limitado. Como o domínio está contido dentro de um círculo de raio 3, ele está limitado.
Resposta
(a) O domínio de
é o conjunto
;
(b) A imagem da função é o intervalo
;
© As curvas de nível são círculos centrados na origem com raio
para
;
(d) A fronteira do domínio é o círculo
;
(e) O domínio é uma região fechada;
(f) O domínio é limitado.