Se possível, determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:
c) f(x, y) = raiz((x - 1)² + (y - 1)²) P1 = (1, 1, 0) e P2 = (1, 2, 1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular e nos pontos e .
Para :
Aqui vemos que a derivada não está definida no ponto , pois obtemos uma indeterminação. Isso indica que o plano tangente nesse ponto é especial.
Para :

Passo 5

Vamos começar pelo ponto .
Usando a fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente em é:

Passo 6

Agora, vamos determinar a reta normal ao gráfico em . A reta normal tem a direção do vetor gradiente .
Para , temos:
Então, a equação paramétrica da reta normal é:
Portanto, a reta normal em é:

Passo 7

Agora, vamos tratar do ponto . Como vimos, as derivadas e não estão definidas nesse ponto. Isso acontece porque a função define uma superfície que, no ponto , tem uma espécie de “pico” ou ponto angular, onde o plano tangente não é único.
Mas podemos observar que é basicamente a distância do ponto ao ponto . No ponto , a superfície “tem uma ponta” e não há um plano tangente único. Portanto, não é possível definir um plano tangente ou uma reta normal nesse ponto da forma tradicional.

Resposta

A equação do plano tangente em é e a reta normal é dada por:
No ponto , não é possível definir um plano tangente ou uma reta normal de forma tradicional devido à indeterminação das derivadas.

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