Se possível, determine a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico das funções dadas, nos pontos indicados:
c) e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a equação do plano tangente e da reta normal ao gráfico dessa função nos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e a fórmula do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o plano tangente a uma superfície em um ponto pode ser encontrado usando a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Passo 4
Agora, vamos calcular e nos pontos e .
Para :
Aqui vemos que a derivada não está definida no ponto , pois obtemos uma indeterminação. Isso indica que o plano tangente nesse ponto é especial.
Para :
Passo 5
Vamos começar pelo ponto .
Usando a fórmula do plano tangente:
Simplificando:
Então, a equação do plano tangente em é:
Passo 6
Agora, vamos determinar a reta normal ao gráfico em . A reta normal tem a direção do vetor gradiente .
Para , temos:
Então, a equação paramétrica da reta normal é:
Portanto, a reta normal em é:
Passo 7
Agora, vamos tratar do ponto . Como vimos, as derivadas e não estão definidas nesse ponto. Isso acontece porque a função define uma superfície que, no ponto , tem uma espécie de “pico” ou ponto angular, onde o plano tangente não é único.
Mas podemos observar que é basicamente a distância do ponto ao ponto . No ponto , a superfície “tem uma ponta” e não há um plano tangente único. Portanto, não é possível definir um plano tangente ou uma reta normal nesse ponto da forma tradicional.
Resposta
A equação do plano tangente em é e a reta normal é dada por:
No ponto , não é possível definir um plano tangente ou uma reta normal de forma tradicional devido à indeterminação das derivadas.