Indique as regiões de
onde
é diferenciável.
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é descobrir em quais regiões do plano
a função
é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender onde a função está definida. A função
está definida para todos os pontos
no plano, exceto quando
. Isso acontece somente no ponto
, pois qualquer outro ponto tem
. No ponto
, precisamos verificar cuidadosamente se a função é diferenciável.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Essas derivadas nos ajudarão a entender se a função é diferenciável.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos calcular
usando a regra do quociente. Temos:
Então,
Passo 5
Agora, vamos calcular
também usando a regra do quociente:
Então,
Passo 6
Para que a função
seja diferenciável em um ponto, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto. Vamos verificar a continuidade das derivadas parciais em todos os pontos, especialmente em
.
Para
, o denominador
não é zero, então as derivadas parciais estão bem definidas e são contínuas nesses pontos.
Passo 7
O ponto crítico é
. Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas aqui. Vamos calcular os limites das derivadas parciais quando
se aproxima de
.
Para
:
Para
:
Passo 8
As derivadas parciais em
são iguais a zero. Além disso, a função
é contínua em
porque:
Portanto, todas as condições para a diferenciabilidade são satisfeitas em
.
Resposta
A função
é diferenciável em todo o plano
.