Indique as regiões de R^2 onde f é diferenciável.
c) f(x, y) = x^2 * y / (x^2 + y^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que precisamos fazer aqui é descobrir em quais regiões do plano a função é diferenciável. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como derivadas parciais e condições de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender onde a função está definida. A função está definida para todos os pontos no plano, exceto quando . Isso acontece somente no ponto , pois qualquer outro ponto tem . No ponto , precisamos verificar cuidadosamente se a função é diferenciável.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Essas derivadas nos ajudarão a entender se a função é diferenciável.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos calcular usando a regra do quociente. Temos:
Então,

Passo 5

Agora, vamos calcular também usando a regra do quociente:
Então,

Passo 6

Para que a função seja diferenciável em um ponto, as derivadas parciais devem existir e ser contínuas nesse ponto. Vamos verificar a continuidade das derivadas parciais em todos os pontos, especialmente em .
Para , o denominador não é zero, então as derivadas parciais estão bem definidas e são contínuas nesses pontos.

Passo 7

O ponto crítico é . Precisamos verificar se as derivadas parciais existem e são contínuas aqui. Vamos calcular os limites das derivadas parciais quando se aproxima de .
Para :
Para :

Passo 8

As derivadas parciais em são iguais a zero. Além disso, a função é contínua em porque:
Portanto, todas as condições para a diferenciabilidade são satisfeitas em .

Resposta

A função é diferenciável em todo o plano .

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