Prove que a cúbica retorcida,
se
, nenhum par de vetores entre
e
é ortogonal.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que, na cúbica retorcida definida por
, quando
, nenhum par de vetores entre
,
e
é ortogonal. Ou seja, precisamos mostrar que o produto escalar entre cada par desses vetores nunca dá zero. Para resolver isso, vamos precisar entender derivadas de vetores e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores envolvidos. Temos
, que já está dada. Os outros dois vetores são
, que é a velocidade, ou seja, a primeira derivada de
em relação a
, e
, que é a aceleração, a segunda derivada de
.
Passo 3
Vamos calcular a velocidade
. Para isso, derivamos cada componente de
em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a aceleração
, que é a derivada de
:
Passo 5
Vamos agora verificar os produtos escalares para ver se algum deles é igual a zero. Primeiro, calculamos
:
Para
, esse valor nunca é zero porque todos os termos são positivos ou negativos, mas somados nunca cancelam para zero.
Passo 6
Em seguida, calculamos
:
Novamente, para
, essa expressão é sempre positiva, então nunca é zero.
Passo 7
Por último, vamos calcular
:
Para
, essa soma nunca é zero porque tanto
quanto
têm o mesmo sinal e somam um valor diferente de zero.
Resposta
Portanto, demonstramos que para
, nenhum par de vetores entre
,
e
é ortogonal.
Exercícios relacionados
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites:
Nos exercícios a seguir encontre o triedro móvel e a curvatura da curva dada em
se existirem.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Mostre que
.