Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda . .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral dupla:
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Estamos lidando com integrais duplas e vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Precisaremos também entender como representar geometricamente a região de integração e interpretar o significado geométrico dessa integral.
Passo 2
Vamos começar esboçando a região de integração no plano .
As limitações de vão de até . Para cada valor de , varia de até .
A equação representa o semicírculo superior de raio . Então, a região de integração é o quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares, porque a região é circular e isso vai simplificar as contas.
Nas coordenadas polares, temos:
E o elemento de área transforma-se em:
Além disso, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares.
Como a região é o quarto de círculo no primeiro quadrante:
varia de a
varia de a
Passo 5
Substituindo tudo na integral, temos:
Passo 6
Agora, vamos interpretar o significado geométrico dessa integral. A função representa a altura de uma superfície esférica de raio . Assim, a integral está calculando o volume da parte dessa esfera que está acima da região de integração no primeiro quadrante.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja , então ou .
Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral externa: