Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda alpha>0.
integral0^alpha integral0^raizalpha^2-x^2 raizalpha^2-x^2-y^2 d y d x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral dupla:
integral0^alpha integral0^raizalpha^2-x^2 raizalpha^2-x^2-y^2 , dy , dx
Primeiro, vamos entender o que o problema pede. Estamos lidando com integrais duplas e vamos mudar para coordenadas polares para facilitar a resolução. Precisaremos também entender como representar geometricamente a região de integração e interpretar o significado geométrico dessa integral.

Passo 2

Vamos começar esboçando a região de integração no plano .
As limitações de vão de até . Para cada valor de , varia de até .
A equação representa o semicírculo superior de raio . Então, a região de integração é o quarto de círculo no primeiro quadrante com raio .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas polares, porque a região é circular e isso vai simplificar as contas.
Nas coordenadas polares, temos:
x = r costheta y = r sintheta
E o elemento de área dA = r , dr , dtheta transforma-se em:
raizalpha^2 - x^2 - y^2 = raizalpha^2 - r^2
Além disso, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Vamos determinar os novos limites de integração em coordenadas polares.
Como a região é o quarto de círculo no primeiro quadrante:
  • varia de a
  • varia de a

Passo 5

Substituindo tudo na integral, temos:
integral0^pi2 integral0^alpha raizalpha^2 - r^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 6

Agora, vamos interpretar o significado geométrico dessa integral. A função representa a altura de uma superfície esférica de raio . Assim, a integral está calculando o volume da parte dessa esfera que está acima da região de integração no primeiro quadrante.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral0^alpha r raizalpha^2 - r^2 , dr
Para resolver isso, fazemos uma substituição. Seja -12 integralalpha^2^0 raizu , du = 12 integral0^alpha^2 raizu , du , então 12 cdot 23 u^3/2 |0^alpha^2 = 13 (alpha^2)^3/2 = 13 alpha^3 ou .
Quando , e quando , .
A integral fica:
Integrando:

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
integral0^pi2 13 alpha^3 , dtheta = 13 alpha^3 cdot theta |0^pi2 = 13 alpha^3 cdot pi2 = pi alpha^36

Resposta

O valor da integral é .

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