Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda
.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma integral dupla:
O enunciado pede para esboçarmos a região de integração, mudarmos para coordenadas polares, interpretarmos o significado geométrico da integral e, por fim, calcularmos a integral. Para isso, vamos precisar entender de cálculo integral em coordenadas polares e da geometria da região envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região de integração. As limitações são
e
. Isso descreve a parte do primeiro quadrante de um círculo de raio
, centrado na origem. Ou seja, estamos integrando sobre um setor circular onde
e
são positivos.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto
é representado por
, onde:
Além disso, o elemento de área
se transforma em
. Também, a expressão
se simplifica para
nas coordenadas polares.
Passo 4
Vamos ajustar os limites de integração para coordenadas polares. Como estamos no primeiro quadrante e dentro de um círculo de raio
, os limites são:
Então, a integral original fica:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, vamos integrar o resultado com relação a
:
Resposta
A integral vale
.
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Determine se a sequência dada converge ou diverge. Se converge calcule o limite.
(b)