Se
é a solução geral de
, mostre que a solução do problema de valor inicial
, é
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, dado que
é a solução geral da equação diferencial
, a solução do problema de valor inicial
é
. Estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos precisar entender como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a solução geral da equação
. Aqui,
é a matriz fundamental, e
é uma constante vetorial. A matriz fundamental
é uma solução particular que satisfaz a equação diferencial.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a constante
que satisfaz a condição inicial
. Para isso, substituímos
na solução geral:
Passo 4
Para isolar
, vamos multiplicar ambos os lados por
, que é a inversa da matriz fundamental no tempo
:
Como
(a matriz identidade), temos:
Passo 5
Agora que encontramos
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é
.
Exercícios relacionados
(b)
Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda
.
.