1,0 Se X = Phi(t) C é a solução geral de X' = A X, mostre que a solução do problema de valor inicial X' = A X, X(t0) = X0, é X = Phi(t) * Phi^-1(t0) * X0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que, dado que é a solução geral da equação diferencial , a solução do problema de valor inicial é . Estamos lidando com equações diferenciais lineares e vamos precisar entender como aplicar as condições iniciais para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é a solução geral da equação . Aqui, é a matriz fundamental, e é uma constante vetorial. A matriz fundamental é uma solução particular que satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Agora, queremos encontrar a constante que satisfaz a condição inicial . Para isso, substituímos na solução geral:

Passo 4

Para isolar , vamos multiplicar ambos os lados por , que é a inversa da matriz fundamental no tempo :
Como (a matriz identidade), temos:

Passo 5

Agora que encontramos , substituímos de volta na solução geral:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é .

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(1, 0) Escreva em forma matricial o sistema dado.
(b) { dx/dt = -3x + 4y + e^(-t) sen(2t) ; dy/dt = 5x + 9y + 4e^(-t) cos(2t) }
Nos exercícios a seguir, esboce a região de integração, passe para coordenads polares, inteprete o significado geométrico da integral e calcule a integral. Considere ainda alpha>0.
integral0^alpha integral0^raizalpha^2-y^2 x^2+y^2 d x d y.
(3,0) Determine a solução geral do sistema
X' = ( -2 2 0 ; 0 0 1 ; 0 -4 0 ) X
2,5 Determine a solução do problema de valor inicial
X' = [[2, 4], [-1, 6]] X ; X(0) = (2, 3)