Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do R^3 :
a) U=(x, y, z) / x-2 y=0
b) V=(x, y, z) / x+z=0 e x-2 y=0
c) U cap V

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar conjuntos de geradores para certos subespaços de R^3. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e geradores. Para isso, precisaremos entender como expressar vetores que satisfazem as condições dadas em cada subespaço.

Passo 2

a) Subespaço U = (x, y, z) mid x - 2y = 0
Primeiro, vamos entender o que a equação x - 2y = 0 representa. Isso significa que qualquer vetor (x, y, z) em U deve satisfazer x = 2y. Aqui, z é livre, ou seja, pode ser qualquer número real.
Então, podemos expressar os vetores de U da seguinte forma:
(x, y, z) = (2y, y, z)
Podemos decompor isso em combinações lineares:
(2y, y, z) = y cdot (2, 1, 0) + z cdot (0, 0, 1)
Portanto, os vetores (2, 1, 0) e (0, 0, 1) são geradores de U.

Passo 3

b) Subespaço V = (x, y, z) mid x + z = 0 e x - 2y = 0
Aqui, temos duas equações simultâneas:
  1. x + z = 0 Rightarrow z = -x
  2. x - 2y = 0 Rightarrow x = 2y
Substituindo x = 2y na primeira equação:
z = -2y
Então, qualquer vetor em V pode ser escrito como:
(x, y, z) = (2y, y, -2y) = y cdot (2, 1, -2)
Isso mostra que o vetor (2, 1, -2) gera o subespaço V.

Passo 4

c) Interseção U cap V
Para encontrar U cap V, buscamos vetores que estão em ambos os subespaços U e V. Já vimos que:
  • Em U: (x, y, z) = (2y, y, z)
  • Em V: (x, y, z) = (2y, y, -2y)
Para pertencer a ambos, deve-se ter z = -2y. Então, os vetores na interseção são:
(x, y, z) = (2y, y, -2y) = y cdot (2, 1, -2)
Isso mostra que U cap V é igual a V, e o gerador é (2, 1, -2).

Resposta

a) Um conjunto de geradores para U é , (2, 1, 0), (0, 0, 1) ,.
b) Um conjunto de geradores para V é , (2, 1, -2) ,.
c) Um conjunto de geradores para U cap V é , (2, 1, -2) ,.

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