Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar conjuntos de geradores para certos subespaços de . Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e geradores. Para isso, precisaremos entender como expressar vetores que satisfazem as condições dadas em cada subespaço.

Passo 2

a) Subespaço
Primeiro, vamos entender o que a equação representa. Isso significa que qualquer vetor em deve satisfazer . Aqui, é livre, ou seja, pode ser qualquer número real.
Então, podemos expressar os vetores de da seguinte forma:
Podemos decompor isso em combinações lineares:
Portanto, os vetores e são geradores de .

Passo 3

b) Subespaço
Aqui, temos duas equações simultâneas:
Substituindo na primeira equação:
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:
Isso mostra que o vetor gera o subespaço .

Passo 4

c) Interseção
Para encontrar , buscamos vetores que estão em ambos os subespaços e . Já vimos que:
  • Em :
  • Em :
Para pertencer a ambos, deve-se ter . Então, os vetores na interseção são:
Isso mostra que é igual a , e o gerador é .

Resposta

a) Um conjunto de geradores para é .
b) Um conjunto de geradores para é .
c) Um conjunto de geradores para é .

Exercícios relacionados

Verifique, em cada caso, se e são coplanares:
e .
Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
Determinar a equação vetorial da reta que passa por e é paralela à reta .
Quais dos seguintes conjuntos a seguir são sub-espaços do ? Justifique.
a)
b)
c) é irracional