Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do
:
a)
b)
e
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Ok, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar conjuntos de geradores para certos subespaços de
. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços vetoriais e geradores. Para isso, precisaremos entender como expressar vetores que satisfazem as condições dadas em cada subespaço.
Passo 2
a) Subespaço
Primeiro, vamos entender o que a equação
representa. Isso significa que qualquer vetor
em
deve satisfazer
. Aqui,
é livre, ou seja, pode ser qualquer número real.
Então, podemos expressar os vetores de
da seguinte forma:
Podemos decompor isso em combinações lineares:
Portanto, os vetores
e
são geradores de
.
Passo 3
b) Subespaço
Aqui, temos duas equações simultâneas:
Substituindo
na primeira equação:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que o vetor
gera o subespaço
.
Passo 4
c) Interseção
Para encontrar
, buscamos vetores que estão em ambos os subespaços
e
. Já vimos que:
- Em
: - Em
:
Para pertencer a ambos, deve-se ter
. Então, os vetores na interseção são:
Isso mostra que
é igual a
, e o gerador é
.
Resposta
a) Um conjunto de geradores para
é
.
b) Um conjunto de geradores para
é
.
c) Um conjunto de geradores para
é
.
Exercícios relacionados
Verifique, em cada caso, se
e
são coplanares:
e
.
Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Determinar a equação vetorial da reta que passa por
e é paralela à reta
.
Quais dos seguintes conjuntos
a seguir são sub-espaços do
? Justifique.
a)
b)
c) é irracional
a)
b)
c)