Quais dos seguintes conjuntos a seguir são sub-espaços do ? Justifique.
a)
b)
c) é irracional

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos conjuntos são subespaços de . Um subespaço precisa satisfazer três coisas básicas:
  1. Contém o vetor zero.
  2. É fechado para adição (se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
  3. É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos analisar cada um dos itens seguindo esses critérios.

Passo 2

Item a)
Primeiro, vamos ver se o vetor zero está em . Sim, porque .
Agora, vamos checar a adição. Se pegar dois vetores quaisquer de , por exemplo, e , a soma é , que também está em porque .
Por último, multiplicação por escalar. Se multiplicarmos por qualquer número real , temos , que também está em .
Então, o conjunto do item a) satisfaz todos os critérios. Portanto, é um subespaço.

Passo 3

Item b)
Vamos começar verificando o vetor zero: . Aqui, , que é um número inteiro, então está em .
Agora, a adição: se pegar dois vetores de , digamos e , onde , a soma será . Como a soma de dois inteiros é outro inteiro, , então a soma está em .
Agora, a multiplicação por escalar: se multiplicarmos por um escalar , obtemos . Aqui está o problema: se não for inteiro, pode não ser um inteiro, mesmo que seja. Por exemplo, se e , então , que não é inteiro.
Então, apesar de passar nos testes do vetor zero e da adição, não é fechado para multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço.

Passo 4

Item c) é
Vamos começar com o vetor zero: . Aqui, , que é um número racional, não irracional. Então, o vetor zero não está em .
Já que o vetor zero não pertence ao conjunto, não pode ser um subespaço, já que um subespaço sempre precisa conter o vetor zero.

Resposta

Apenas o conjunto do item a) é um subespaço de .

Exercícios relacionados

Determinar a equação vetorial da reta que passa por e é paralela à reta .
Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)
Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável (caso existam!), que passa pelos pontos e nos seguintes casos:
e
Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto pertence às retas.
.