Quais dos seguintes conjuntos
a seguir são sub-espaços do
? Justifique.
a)
b)
c)
é irracional
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar quais dos conjuntos
são subespaços de
. Um subespaço precisa satisfazer três coisas básicas:
- Contém o vetor zero.
- É fechado para adição (se você adicionar dois vetores do conjunto, o resultado também está no conjunto).
- É fechado para multiplicação por escalar (se você multiplicar um vetor do conjunto por qualquer número real, o resultado também está no conjunto).
Vamos analisar cada um dos itens seguindo esses critérios.
Passo 2
Item a)
Primeiro, vamos ver se o vetor zero
está em
. Sim, porque
.
Agora, vamos checar a adição. Se pegar dois vetores quaisquer de
, por exemplo,
e
, a soma é
, que também está em
porque
.
Por último, multiplicação por escalar. Se multiplicarmos
por qualquer número real
, temos
, que também está em
.
Então, o conjunto
do item a) satisfaz todos os critérios. Portanto, é um subespaço.
Passo 3
Item b)
Vamos começar verificando o vetor zero:
. Aqui,
, que é um número inteiro, então está em
.
Agora, a adição: se pegar dois vetores de
, digamos
e
, onde
, a soma será
. Como a soma de dois inteiros é outro inteiro,
, então a soma está em
.
Agora, a multiplicação por escalar: se multiplicarmos
por um escalar
, obtemos
. Aqui está o problema: se
não for inteiro,
pode não ser um inteiro, mesmo que
seja. Por exemplo, se
e
, então
, que não é inteiro.
Então, apesar de
passar nos testes do vetor zero e da adição, não é fechado para multiplicação por escalar. Portanto, não é um subespaço.
Passo 4
Item c)
Vamos começar com o vetor zero:
. Aqui,
, que é um número racional, não irracional. Então, o vetor zero não está em
.
Já que o vetor zero não pertence ao conjunto,
não pode ser um subespaço, já que um subespaço sempre precisa conter o vetor zero.
Resposta
Apenas o conjunto
do item a) é um subespaço de
.
Exercícios relacionados
Determinar a equação vetorial da reta que passa por
e é paralela à reta
.
Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do
:
a)
b) e
c)
a)
b)
c)
Determinar a equação vetorial, as equações paramétricas, as equações simétricas e reduzidas na variável
(caso existam!), que passa pelos pontos
e
nos seguintes casos:
e
Determine um ponto e um vetor diretor de cada uma das seguintes retas. Além disso, verifique se o ponto
pertence às retas.
.