Sejam e matrizes inversíveis tais que e . Sabendo-se que , então o determinante de é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos duas matrizes quadradas e de ordem , que são inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é . Queremos encontrar o determinante da matriz . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e algumas regras importantes de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes:
  1. Determinante da transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original, ou seja, .
  2. Determinante de uma constante multiplicada por uma matriz: Se multiplicarmos uma matriz por uma constante , o determinante será , onde é a ordem da matriz. Então, .
  3. Determinante da soma de matrizes: Essa é mais complicada. No entanto, no nosso caso, conseguimos manipular para facilitar a soma usando outras propriedades.
  4. Determinante de um produto: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas, ou seja, .
Vamos usar essas propriedades para simplificar a expressão do determinante de .

Passo 3

Vamos começar analisando a expressão para :
Primeiro, vamos tratar da soma . Podemos fatorar :
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de volta em :
Usando a propriedade da transposta do produto de matrizes, temos:
Aplicando isso:
Como e são matrizes inversíveis, suas inversas também são inversíveis, e a transposta da inversa é a inversa da transposta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de :
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes:
Lembrando que :

Passo 6

Vamos calcular . Usando a propriedade do determinante de uma constante multiplicada por uma matriz:
Aqui, e , então:
Sabemos que . Como (porque matrizes quadradas de mesmo tamanho multiplicam de qualquer ordem em determinantes), podemos dizer:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos calcular . Sabemos que , e para a matriz inversa:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:

Resposta

A resposta correta é a letra d. .

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a) definida por
b) definida por
c) definida por
d) , dada por
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e .
Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do :
a)
b) e
c)