Sejam
e
matrizes
inversíveis tais que
e
. Sabendo-se que
, então o determinante de
é igual a:
a.
b.
c.
d.
e.
a.
b.
c.
d.
e.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos duas matrizes quadradas
e
de ordem
, que são inversíveis. Sabemos que o determinante de
é
e que o determinante de
é
. Queremos encontrar o determinante da matriz
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e algumas regras importantes de álgebra de matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes:
-
Determinante da transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original, ou seja,
. -
Determinante de uma constante multiplicada por uma matriz: Se multiplicarmos uma matriz
por uma constante , o determinante será , onde é a ordem da matriz. Então, . -
Determinante da soma de matrizes: Essa é mais complicada. No entanto, no nosso caso, conseguimos manipular para facilitar a soma usando outras propriedades.
-
Determinante de um produto: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas, ou seja,
.
Vamos usar essas propriedades para simplificar a expressão do determinante de
.
Passo 3
Vamos começar analisando a expressão para
:
Primeiro, vamos tratar da soma
. Podemos fatorar
:
Aqui,
é a matriz identidade de ordem
.
Passo 4
Agora, vamos substituir essa expressão de volta em
:
Usando a propriedade da transposta do produto de matrizes, temos:
Aplicando isso:
Como
e
são matrizes inversíveis, suas inversas também são inversíveis, e a transposta da inversa é a inversa da transposta:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante de
:
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes:
Lembrando que
:
Passo 6
Vamos calcular
. Usando a propriedade do determinante de uma constante multiplicada por uma matriz:
Aqui,
e
, então:
Sabemos que
. Como
(porque matrizes quadradas de mesmo tamanho multiplicam de qualquer ordem em determinantes), podemos dizer:
Portanto:
Passo 7
Agora, vamos calcular
. Sabemos que
, e para a matriz inversa:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo:
Resposta
A resposta correta é a letra d.
.
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(9 pts) Determine condições sobre
para que o vetor
.
Verificar se a aplicação é uma transformação linear:
a) definida por
b) definida por
c) definida por
d) , dada por
a)
b)
c)
d)
Verifique, em cada caso, se
e
são coplanares:
e
.
Exiba um conjunto de geradores para cada um dos seguintes sub-espaços do
:
a)
b) e
c)
a)
b)
c)