Sejam A e C matrizes n times n inversíveis tais que det(In+C^-1 A)=1 / 3 e det(A)=5. Sabendo-se que B=3(A^-1+C^-1)^T, então o determinante de B é igual a:
a. 3^n
b. 2 3^n5^2
c. 1 / 5
d. 3^n-15
e. 5 cdot 3^n-1

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo! Temos duas matrizes quadradas e de ordem , que são inversíveis. Sabemos que o determinante de é e que o determinante de é . Queremos encontrar o determinante da matriz . Para resolver isso, vamos usar propriedades de determinantes e algumas regras importantes de álgebra de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de algumas propriedades importantes dos determinantes:
  1. Determinante da transposta: O determinante da transposta de uma matriz é igual ao determinante da matriz original, ou seja, .
  2. Determinante de uma constante multiplicada por uma matriz: Se multiplicarmos uma matriz por uma constante , o determinante será , onde é a ordem da matriz. Então, .
  3. Determinante da soma de matrizes: Essa é mais complicada. No entanto, no nosso caso, conseguimos manipular para facilitar a soma usando outras propriedades.
  4. Determinante de um produto: O determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto dos determinantes delas, ou seja, .
Vamos usar essas propriedades para simplificar a expressão do determinante de .

Passo 3

Vamos começar analisando a expressão para B = 3(A^-1 + C^-1)^T :
A^-1 + C^-1 = A^-1(I + A C^-1)
Primeiro, vamos tratar da soma . Podemos fatorar :
Aqui, é a matriz identidade de ordem .

Passo 4

Agora, vamos substituir essa expressão de volta em B = 3(A^-1(I + A C^-1))^T :
(MN)^T = N^T M^T
Usando a propriedade da transposta do produto de matrizes, temos:
B = 3(I + A C^-1)^T (A^-1)^T
Aplicando isso:
(A^-1)^T = (A^T)^-1
Como e são matrizes inversíveis, suas inversas também são inversíveis, e a transposta da inversa é a inversa da transposta:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante de det(B) = det(3(I + A C^-1)^T (A^-1)^T) :
det(B) = det(3(I + A C^-1)^T) cdot det((A^-1)^T)
Usando a propriedade do determinante do produto de matrizes:
det(B) = det(3(I + A C^-1)) cdot det(A^-1)
Lembrando que :

Passo 6

Vamos calcular det(kM) = k^n det(M) . Usando a propriedade do determinante de uma constante multiplicada por uma matriz:
det(3(I + A C^-1)) = 3^n det(I + A C^-1)
Aqui, det(I + A C^-1) = 13 e det(3(I + A C^-1)) = 3^n cdot 13 = 3^n - 1 , então:
Sabemos que . Como (porque matrizes quadradas de mesmo tamanho multiplicam de qualquer ordem em determinantes), podemos dizer:
Portanto:

Passo 7

Agora, vamos calcular det(A^-1) = 1det(A) = 15 . Sabemos que , e para a matriz inversa:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo:
det(B) = 3^n - 1 cdot 15 = 3^n - 15

Resposta

A resposta correta é a letra d. .

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