Exibir em cada caso,(se possível), duas matrizes
e
tais que
i)
.
ii)
.
iii)
.
i)
ii)
iii)
Passo 1
E aí! Vamos resolver o primeiro caso do exercício. A gente precisa encontrar duas matrizes
e
de tamanho
que satisfaçam a equação
. Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a soma e a multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos precisar que as matrizes
e
comutem, ou seja, que
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que precisamos que
. Quando expandimos
, temos:
Para que isso seja igual a
, precisamos que
. Isso só acontece se
, ou seja, se as matrizes comutam.
Passo 3
Agora, vamos escolher duas matrizes simples que comutam. Uma boa opção são as matrizes diagonais, porque matrizes diagonais sempre comutam. Vamos definir:
Passo 4
Vamos para o segundo caso! Precisamos encontrar duas matrizes
e
de tamanho
que satisfaçam
. Isso também envolve propriedades de matrizes e comutatividade. Para que essa equação seja verdadeira, é necessário que
.
Passo 5
Expandindo o lado esquerdo da equação:
Para que isso seja igual a
, precisamos que
, ou seja,
.
Passo 6
Vamos escolher novamente matrizes diagonais para garantir que elas comutem. Por exemplo:
Passo 7
Agora, vamos resolver o terceiro caso! Precisamos encontrar duas matrizes
e
de tamanho
que satisfaçam
. Esse tipo de equação se relaciona com a fatoração de polinômios e propriedades de matrizes. Para que essa igualdade seja válida, novamente, as matrizes
e
devem comutar, ou seja,
.
Passo 8
Vamos entender a identidade matricial. Para números, sabemos que
. Para matrizes, essa igualdade só se mantém se
e
comutam. Assim, precisamos de matrizes que satisfaçam
.
Passo 9
Escolheremos novamente matrizes diagonais para facilitar, já que elas comutam. Por exemplo:
Resposta
As matrizes
e
são: