Exibir em cada caso,(se possível), duas matrizes A e B 2 times 2 tais que
i) (A+B)^2=A^2+2 A B+B^2.
ii) (A+B)(A-B)=A^2-B^2.
iii) A^3-B^3=(A-B)(A^2+A B+B^2).

Passo 1

E aí! Vamos resolver o primeiro caso do exercício. A gente precisa encontrar duas matrizes e de tamanho que satisfaçam a equação . Isso envolve conceitos de álgebra linear, especificamente a soma e a multiplicação de matrizes. Para resolver, vamos precisar que as matrizes e comutem, ou seja, que .

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que precisamos que (A + B)^2 = A^2 + AB + BA + B^2 . Quando expandimos , temos:
Para que isso seja igual a , precisamos que . Isso só acontece se , ou seja, se as matrizes comutam.

Passo 3

Agora, vamos escolher duas matrizes simples que comutam. Uma boa opção são as matrizes diagonais, porque matrizes diagonais sempre comutam. Vamos definir:
A = 1 & 0 0 & 2 , B = 3 & 0 0 & 4

Passo 4

Vamos para o segundo caso! Precisamos encontrar duas matrizes e de tamanho que satisfaçam . Isso também envolve propriedades de matrizes e comutatividade. Para que essa equação seja verdadeira, é necessário que .

Passo 5

Expandindo o lado esquerdo da equação:
(A + B)(A - B) = A^2 - AB + BA - B^2
Para que isso seja igual a , precisamos que , ou seja, .

Passo 6

Vamos escolher novamente matrizes diagonais para garantir que elas comutem. Por exemplo:
A = 2 & 0 0 & 3 , B = 4 & 0 0 & 5

Passo 7

Agora, vamos resolver o terceiro caso! Precisamos encontrar duas matrizes e de tamanho que satisfaçam . Esse tipo de equação se relaciona com a fatoração de polinômios e propriedades de matrizes. Para que essa igualdade seja válida, novamente, as matrizes e devem comutar, ou seja, .

Passo 8

Vamos entender a identidade matricial. Para números, sabemos que . Para matrizes, essa igualdade só se mantém se e comutam. Assim, precisamos de matrizes que satisfaçam .

Passo 9

Escolheremos novamente matrizes diagonais para facilitar, já que elas comutam. Por exemplo:
A = 1 & 0 0 & 3 , B = 2 & 0 0 & 4

Resposta

As matrizes A = 1 & 0 0 & 3 , B = 2 & 0 0 & 4 e são:

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