Se e . Determine o valor de de modo que seja ortogonal ao vetor .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem dois vetores: e . A pergunta é: qual o valor de para que o vetor seja ortogonal (ou seja, perpendicular) ao vetor resultante de .
Para resolver isso, vamos precisar entender de produto vetorial, soma de vetores e condição de ortogonalidade entre dois vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial entre dois vetores resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais. A fórmula para calcular é:
Passo 3
Vamos calcular o determinante:
A times B = i(m cdot 1 - (-3) cdot (-4)) - j(3 cdot 1 - (-3) cdot 5) + k(3 cdot (-4) - m cdot 5)
Simplificando cada componente:
Para i:
m cdot 1 - (-3) cdot (-4) = m - 12
Para j:
3 cdot 1 - (-3) cdot 5 = 3 + 15 = 18
Para k:
3 cdot (-4) - m cdot 5 = -12 - 5m
Então, temos:
A times B = (m - 12)i - 18j + (-12 - 5m)k
Ou, na forma vetorial:
A times B = (m - 12, -18, -12 - 5m)
Passo 4
Agora, vamos calcular 2A. Basta multiplicar cada componente de A por 2:
2A = 2 cdot (3, m, -3) = (6, 2m, -6)
Passo 5
Em seguida, vamos somar os vetores A times B e 2A:
A times B + 2A = (m - 12 + 6, -18 + 2m, -12 - 5m - 6)
Simplificando cada componente:
(m - 6, -18 + 2m, -18 - 5m)
Então, o vetor resultante é:
(m - 6, -18 + 2m, -18 - 5m)
Passo 6
Agora, queremos que B seja ortogonal a esse vetor resultante. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. O produto escalar de B = (5, -4, 1) com (m - 6, -18 + 2m, -18 - 5m) deve ser igual a zero.
Então, calculamos:
B cdot (A times B + 2A) = 5(m - 6) + (-4)(-18 + 2m) + 1(-18 - 5m) = 0
Passo 7
Vamos expandir essa equação:
5m - 30 + 72 - 8m - 18 - 5m = 0
Agora, somamos os termos semelhantes:
5m - 8m - 5m + (-30 + 72 - 18) = 0
-8m + 24 = 0
Passo 8
Resolvendo para m:
-8m + 24 = 0 -8m = -24 m = 3
Resposta
O valor de m que torna o vetor B ortogonal a (A times B + 2A) é m = 3.