Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita do tipo . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Caso converja, também vamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o teste da série geométrica, que é útil para identificar a convergência de séries com termos que formam uma progressão geométrica.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão da série para facilitar a identificação do padrão geométrico. Observamos que e . Assim, a série pode ser reescrita como:

Passo 3

Agora, a série está na forma , onde . Para uma série geométrica da forma , sabemos que ela converge se e diverge caso contrário. Além disso, se convergir, podemos calcular a soma da série infinita.

Passo 4

Vamos verificar o valor de :
Como , a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série infinita . A fórmula da soma de uma série geométrica infinita que começa de é:
No nosso caso, a série começa em , então precisamos ajustar a fórmula para descontar os termos e .

Passo 6

Observe que:
Substituindo :

Passo 7

Calculando o denominador:
Então:

Passo 8

Simplificando:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
Então:

Resposta

A série é convergente e a soma é igual a .

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