Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita do tipo
. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Caso converja, também vamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o teste da série geométrica, que é útil para identificar a convergência de séries com termos que formam uma progressão geométrica.
Passo 2
Vamos reescrever a expressão da série para facilitar a identificação do padrão geométrico. Observamos que
e
. Assim, a série pode ser reescrita como:
Passo 3
Agora, a série está na forma
, onde
. Para uma série geométrica da forma
, sabemos que ela converge se
e diverge caso contrário. Além disso, se convergir, podemos calcular a soma da série infinita.
Passo 4
Vamos verificar o valor de
:
Como
, a série converge.
Passo 5
Agora, vamos calcular a soma da série infinita
. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita que começa de
é:
No nosso caso, a série começa em
, então precisamos ajustar a fórmula para descontar os termos
e
.
Passo 6
Observe que:
Substituindo
:
Passo 7
Calculando o denominador:
Então:
Passo 8
Simplificando:
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
Então:
Resposta
A série
é convergente e a soma é igual a
.
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desse sistema que não pode ser escrita na forma
? Por que?
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, quais são as definições de
e
?
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