Determine se as seguintes séries são convergentes ou divergentes. Se converge, calcule o valor da soma. sumn=2^infty 2^2 n 5^-3 n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma série infinita do tipo sumn=2^infty 2^2n 5^-3n. Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Caso converja, também vamos calcular o valor da soma. Para resolver isso, vamos usar o teste da série geométrica, que é útil para identificar a convergência de séries com termos que formam uma progressão geométrica.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão da série para facilitar a identificação do padrão geométrico. Observamos que 2^2n = (2^2)^n = 4^n e 5^-3n = (5^-3)^n = (1125)^n. Assim, a série pode ser reescrita como:
sumn=2^infty 4^n cdot (1125)^n = sumn=2^infty (4125)^n

Passo 3

Agora, a série está na forma sumn=2^infty r^n, onde r = 4125. Para uma série geométrica da forma sumn=k^infty r^n, sabemos que ela converge se |r| < 1 e diverge caso contrário. Além disso, se convergir, podemos calcular a soma da série infinita.

Passo 4

Vamos verificar o valor de r:
r = 4125 approx 0,032
Como |r| = 0,032 < 1, a série converge.

Passo 5

Agora, vamos calcular a soma da série infinita sumn=2^infty (4125)^n. A fórmula da soma de uma série geométrica infinita que começa de n=0 é:
S = 11 - r
No nosso caso, a série começa em n=2, então precisamos ajustar a fórmula para descontar os termos n=0 e n=1.

Passo 6

Observe que:
sumn=2^infty r^n = sumn=0^infty r^n - r^0 - r^1 = 11 - r - 1 - r
Substituindo r = 4125:
S = 11 - 4125 - 1 - 4125

Passo 7

Calculando o denominador:
1 - 4125 = 125 - 4125 = 121125
Então:
S = 125121 - 1 - 4125 = 125121 - 121121 - 4125

Passo 8

Simplificando:
S = 4121 - 4125
Para somar essas frações, encontramos um denominador comum:
Denominador comum = 121 times 125 = 15125
Então:
S = 4 times 12515125 - 4 times 12115125 = 500 - 48415125 = 1615125

Resposta

A série sumn=2^infty 2^2n 5^-3n é convergente e a soma é igual a 1615125.

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