Existe tal que se seja cont

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida por partes:
Queremos descobrir se existe algum valor real de que torne a função contínua em . Para isso, vamos usar conceitos de continuidade de funções e limites.

Passo 2

Para a função ser contínua em , precisamos que o limite de quando se aproxima de 0 seja igual ao valor da função em 0, ou seja:
Vamos analisar esse limite.

Passo 3

Quando se aproxima de 0, a expressão fica muito grande em valor absoluto. A função seno, , oscila entre -1 e 1 repetidamente conforme se aproxima de 0.
Matematicamente, isso significa que:

Passo 4

Para que o limite exista, a função deve se aproximar de um único valor à medida que se aproxima de 0. Porém, no nosso caso, não se aproxima de nenhum valor específico; ela continua oscilando indefinidamente entre -1 e 1.
Isso significa que:
ã

Passo 5

Se o limite de quando se aproxima de 0 não existe, não há como igualá-lo a . Portanto, não existe nenhum valor real de que torne a função contínua em .

Resposta

Não existe nenhum valor real de que torne a função contínua em .

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