Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas a zero.
Passo 2
Primeiro, observamos que à medida que
se aproxima de 0, o numerador
também se aproxima de 0, já que
. Portanto, temos uma forma indeterminada
, o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em uma forma
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite:
Passo 4
Aplicando a regra, derivamos o numerador e o denominador:
- Derivada de
em relação a é . - Derivada de
em relação a é .
Então, o limite se transforma em:
Passo 5
Agora, calculamos o limite de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
, então temos:
Resposta
O limite
é igual a 0.