lim x 0 cos (x)-1 x

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar entender as propriedades de limites e algumas aproximações de funções trigonométricas próximas a zero.

Passo 2

Primeiro, observamos que à medida que se aproxima de 0, o numerador também se aproxima de 0, já que . Portanto, temos uma forma indeterminada , o que nos permite aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital nos diz que se limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) resulta em uma forma ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e então calcular o limite:

Passo 4

Aplicando a regra, derivamos o numerador e o denominador:
  • Derivada de limx 0 -sin(x)1 = limx 0 -sin(x) em relação a é .
  • Derivada de em relação a é .
Então, o limite se transforma em:

Passo 5

Agora, calculamos o limite de limx 0 -sin(x) = -0 = 0 quando se aproxima de 0. Sabemos que , então temos:

Resposta

O limite é igual a 0.

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