Em cada um dos Problemas de 1 a 32 , resolva a equação diferencial. Se for dada uma condição inicial, encontre, também, a solução.
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Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial
. Esse problema é de equações diferenciais de primeira ordem e, para resolvê-lo, vamos usar o método das equações lineares, que envolve encontrar um fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Podemos reescrever a equação dada da seguinte forma:
Assim, identificamos que a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
, onde
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Isso nos permite reescrever a equação como a derivada do produto de
e
:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, isolamos
dividindo ambos os lados por
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Em cada um dos Problemas de 25 a 31 , encontre um fator integrante e resolva a equação.
27.
27.
Em cada um dos Problemas de 1 a 8, resolva a equação diferencial dada.
Determine o domínio das funções abaixo:
Existe
?