Existem dez cadeiras numeradas de 1 a 10. De quantas formas duas pessoas podem sentar-se, devendo haver ao menos uma cadeira entre elas?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre combinações e arranjos na matemática, especificamente em combinatória. Temos 10 cadeiras numeradas de 1 a 10 e queremos saber de quantas maneiras duas pessoas podem se sentar, garantindo que sempre tenha pelo menos uma cadeira vazia entre elas. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre permutações e como calcular combinações com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular de quantas formas as duas pessoas podem se sentar sem nenhuma restrição. Temos 10 cadeiras e queremos escolher 2 delas. Isso é um problema de combinação, onde a ordem importa porque as pessoas são distintas.
A fórmula para calcular combinações de 2 elementos entre 10 é:
Então, existem 45 maneiras de escolher as cadeiras.
Passo 3
Como a ordem importa (Pessoa A senta na cadeira 1 e Pessoa B na cadeira 2 é diferente de Pessoa B na cadeira 1 e Pessoa A na cadeira 2), precisamos multiplicar o resultado por 2! (fatorial de 2) para considerar as permutações das duas pessoas:
Portanto, sem restriç��es, há 90 maneiras diferentes de as duas pessoas se sentarem.
Passo 4
Agora, vamos calcular de quantas maneiras as duas pessoas podem se sentar com menos de uma cadeira entre elas, ou seja, sentadas em cadeiras consecutivas. Isso vai nos ajudar a encontrar as combinações que não atendem à condição e depois subtrair desse total.
Há 9 pares de cadeiras consecutivas em uma fileira de 10 cadeiras: (1-2), (2-3), …, (9-10). Para cada par, as duas pessoas podem trocar de lugar, então novamente multiplicamos por 2:
Então, há 18 maneiras de as duas pessoas se sentarem em cadeiras consecutivas.
Passo 5
Finalmente, para encontrar o número de maneiras em que as duas pessoas se sentam com pelo menos uma cadeira vazia entre elas, subtraímos as combinações indesejadas (cadeiras consecutivas) do total sem restrições:
Resposta
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