Existem duas urnas. A 1^a com 4 bolas numeradas de 1 a 4 e a 2^a com 3 bolas numeradas de 7 a 9. Duas bolas são extraídas da 1^a urna, sucessivamente e sem reposição, e em seguida 2 bolas são extraídas da 2^a urna, sucessivamente e sem reposição. Quantos números de 4 algarismos é possível formar nessas condições?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema envolvendo duas urnas com bolas numeradas. A primeira urna tem 4 bolas (números de 1 a 4) e a segunda tem 3 bolas (números de 7 a 9). A gente vai tirar 2 bolas da primeira urna, depois 2 da segunda, tudo sem colocar de volta. A pergunta é: quantos números de 4 algarismos diferentes a gente consegue formar com essas bolas? Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinações e permutações da matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos ver quantas maneiras a gente pode tirar 2 bolas da primeira urna. Como a ordem importa (tirar primeiro o 1 e depois o 2 é diferente de tirar primeiro o 2 e depois o 1), a gente usa a fórmula de permutações.
A fórmula para permutação de P(n, k) = n!(n - k)! elementos tomados P(4, 2) = 4!(4 - 2)! = 4 times 3 times 2 times 12 times 1 = 12 de cada vez é:
No nosso caso, (bolas na urna 1) e :
Então, temos 12 maneiras de tirar 2 bolas da primeira urna.

Passo 3

Agora, vamos calcular quantas maneiras a gente pode tirar 2 bolas da segunda urna. Novamente, a ordem importa. A segunda urna tem 3 bolas, então usamos a mesma fórmula:
P(3, 2) = 3!(3 - 2)! = 3 times 2 times 11 = 6
Ou seja, temos 6 maneiras de tirar 2 bolas da segunda urna.

Passo 4

Agora que sabemos as maneiras de tirar as bolas de cada urna, precisamos combinar essas escolhas. Como as ações são independentes, a gente multiplica os resultados:
12 (da urna 1) times 6 (da urna 2) = 72
Então, temos 72 conjuntos possíveis de 4 bolas (2 da urna 1 e 2 da urna 2).

Passo 5

Agora, com cada conjunto de 4 bolas, a gente pode formar diferentes números de 4 algarismos. Como as 4 bolas são distintas, a gente precisa calcular quantas permutations de 4 elementos existem. Isso é dado por 4! = 4 times 3 times 2 times 1 = 24 :
Então, para cada conjunto de 4 bolas, dá pra formar 24 números diferentes.

Passo 6

Finalmente, pra achar o total de números possíveis, a gente multiplica o número de conjuntos pelo número de permutações de cada conjunto:
72 conjuntos times 24 números por conjunto = 1728 ú

Resposta

É possível formar 1.728 números de 4 algarismos nessas condições.

Exercícios relacionados

Em um torneio de dois turnos (cada par de times joga duas vezes) estão participando seis times. Quantos jogos são disputados?
Durante a exibição de um programa de televisão, um diretor dispõe de 5 intervalos para anúncios comerciais. Se existirem 5 anunciantes interessados nestes horários, de quantas formas o diretor poderá colocar os 5 anúncios de modo a contemplar todos os anunciantes?
Quantos anagramas possuem as seguintes palavras?
(a) PERA
Quantos anagramas possuem as seguintes palavras?
(b) COPO