Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por V=[A(x^2-y^2)-3 B x] i+[2 A x y-3 B y] j em que A=3,28 m^-1. s^-1, B=1 s^-1 e as coordenadas são medidas em metros. A massa especifica é 1030 kg / m^3 e a gravidade age no sentido negativo do eixo y. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (x, y)=(1,1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de velocidade de escoamento e pede para determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (1,1). A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente a parte de dinâmica de fluidos onde usamos as equações de Navier-Stokes para relacionar a aceleração e o gradiente de pressão. Para isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração em um campo de velocidade e como aplicar as equações de equilíbrio para encontrar o gradiente de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. Em mecânica dos fluidos, a aceleração a = DVDt = ( V cdot nabla ) V de uma partícula no fluido pode ser calculada usando a derivada material da velocidade:
Isso significa que precisamos calcular como a velocidade varia no espaço.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da velocidade fornecida:
V = [A(x^2-y^2)-3 B x] i + [2 A x y - 3 B y] j
Onde:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para partial Vxpartial x = partialpartial x [A(x^2-y^2)-3 B x] = 2A x - 3B . Primeiramente, calculamos as derivadas das componentes partial Vxpartial y = partialpartial y [A(x^2-y^2)-3 B x] = -2A y e partial Vypartial x = partialpartial x [2 A x y - 3 B y] = 2A y em relação a partial Vypartial y = partialpartial y [2 A x y - 3 B y] = 2A x - 3B e :

Passo 5

Agora, formamos a matriz Jacobiana nabla V = partial Vxpartial x & partial Vxpartial y partial Vypartial x & partial Vypartial y = 2A x - 3B & -2A y 2A y & 2A x - 3B :

Passo 6

Com a matriz Jacobiana, podemos calcular a aceleração a = 2A x - 3B & -2A y 2A y & 2A x - 3B Vx Vy . Vamos multiplicar a matriz pela velocidade:
Vx = A(x^2-y^2) - 3B x
Substituindo Vy = 2A x y - 3B y e :

Passo 7

Realizando as multiplicações:
Para a componente ax = (2A x - 3B)Vx + (-2A y)Vy :
ay = (2A y)Vx + (2A x - 3B)Vy
Para a componente :

Passo 8

Substituímos os valores de A = 3,28 , m^-1s^-1 , B = 1 , s^-1 , e as coordenadas x = 1 , m, y = 1 , m :
Vx = 3,28(1^2 - 1^2) - 3(1)(1) = 0 - 3 = -3 , m/s
Vy = 2(3,28)(1)(1) - 3(1)(1) = 6,56 - 3 = 3,56 , m/s
Primeiro, calculamos e no ponto:

Passo 9

Agora calculamos ax = [2(3,28)(1) - 3(1)](-3) + [-2(3,28)(1)](3,56) e ax = (6,56 - 3)(-3) + (-6,56)(3,56) :
ax = 3,56(-3) + (-6,56)(3,56)
ax = -10,68 - 23,33 = -34,01 , m/s^2
ay = [2(3,28)(1)](-3) + [2(3,28)(1) - 3(1)](3,56)
ay = 6,56(-3) + (6,56 - 3)(3,56)
ay = -19,68 + 3,56(3,56)
ay = -19,68 + 12,66 = -7,02 , m/s^2

Passo 10

Agora que temos a aceleração, vamos calcular o gradiente de pressão usando a equação de equilíbrio de forças na dinâmica dos fluidos:
rho a = -nabla P + rho g
Rearranjando para encontrar nabla P = -rho a + rho g :
g = -g j
Onde é a aceleração da gravidade. Como a gravidade age no sentido negativo do eixo , temos:

Passo 11

Substituindo os valores:
rho = 1030 , kg/m^3
a = -34,01 i - 7,02 j , m/s^2
g = 9,81 , m/s^2
Calculamos cada componente do gradiente de pressão:
Para partial Ppartial x = -1030 (-34,01) = 1030 times 34,01 = 35.023,03 , Pa/m :
partial Ppartial y = -1030 (-7,02) + 1030 (9,81) = 1030 times 7,02 + 1030 times 9,81
Para partial Ppartial y = 7.246, ! + ! 10.104,3 = 17.350,3 , Pa/m :

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto (1,1) é e o gradiente de pressão nesse ponto é .

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