Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por
em que
.
e as coordenadas são medidas em metros. A massa especifica é
a gravidade age no sentido negativo do eixo
. Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de velocidade de escoamento e pede para determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (1,1). A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente a parte de dinâmica de fluidos onde usamos as equações de Navier-Stokes para relacionar a aceleração e o gradiente de pressão. Para isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração em um campo de velocidade e como aplicar as equações de equilíbrio para encontrar o gradiente de pressão.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. Em mecânica dos fluidos, a aceleração
de uma partícula no fluido pode ser calculada usando a derivada material da velocidade:
Isso significa que precisamos calcular como a velocidade varia no espaço.
Passo 3
Vamos identificar as componentes da velocidade fornecida:
Onde:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para
. Primeiramente, calculamos as derivadas das componentes
e
em relação a
e
:
Passo 5
Agora, formamos a matriz Jacobiana
:
Passo 6
Com a matriz Jacobiana, podemos calcular a aceleração
. Vamos multiplicar a matriz pela velocidade:
Substituindo
e
:
Passo 7
Realizando as multiplicações:
Para a componente
:
Para a componente
:
Passo 8
Substituímos os valores de
,
, e as coordenadas
:
Primeiro, calculamos
e
no ponto:
Passo 9
Agora calculamos
e
:
Passo 10
Agora que temos a aceleração, vamos calcular o gradiente de pressão usando a equação de equilíbrio de forças na dinâmica dos fluidos:
Rearranjando para encontrar
:
Onde
é a aceleração da gravidade. Como a gravidade age no sentido negativo do eixo
, temos:
Passo 11
Substituindo os valores:
Calculamos cada componente do gradiente de pressão:
Para
:
Para
:
Resposta
A aceleração da partícula fluida no ponto (1,1) é
e o gradiente de pressão nesse ponto é
.