Considere o campo de escoamento com a velocidade dada por em que . e as coordenadas são medidas em metros. A massa especifica é a gravidade age no sentido negativo do eixo . Determine a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado nos dá um campo de velocidade de escoamento e pede para determinar a aceleração de uma partícula fluida e o gradiente de pressão no ponto (1,1). A matéria envolvida aqui é a Mecânica dos Fluidos, especificamente a parte de dinâmica de fluidos onde usamos as equações de Navier-Stokes para relacionar a aceleração e o gradiente de pressão. Para isso, vamos precisar entender como calcular a aceleração em um campo de velocidade e como aplicar as equações de equilíbrio para encontrar o gradiente de pressão.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a aceleração da partícula fluida. Em mecânica dos fluidos, a aceleração de uma partícula no fluido pode ser calculada usando a derivada material da velocidade:
Isso significa que precisamos calcular como a velocidade varia no espaço.

Passo 3

Vamos identificar as componentes da velocidade fornecida:
Onde:

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias para . Primeiramente, calculamos as derivadas das componentes e em relação a e :

Passo 5

Agora, formamos a matriz Jacobiana :

Passo 6

Com a matriz Jacobiana, podemos calcular a aceleração . Vamos multiplicar a matriz pela velocidade:
Substituindo e :

Passo 7

Realizando as multiplicações:
Para a componente :
Para a componente :

Passo 8

Substituímos os valores de , , e as coordenadas :
Primeiro, calculamos e no ponto:

Passo 9

Agora calculamos e :

Passo 10

Agora que temos a aceleração, vamos calcular o gradiente de pressão usando a equação de equilíbrio de forças na dinâmica dos fluidos:
Rearranjando para encontrar :
Onde é a aceleração da gravidade. Como a gravidade age no sentido negativo do eixo , temos:

Passo 11

Substituindo os valores:
Calculamos cada componente do gradiente de pressão:
Para :
Para :

Resposta

A aceleração da partícula fluida no ponto (1,1) é e o gradiente de pressão nesse ponto é .

Exercícios relacionados

A componente em da velocidade em um campo de escoamento incompressível é dada por , em que e as coordenadas são medidas em metros. A pressão no ponto é (manométrica). A massa específica é e o eixo é na vertical. Determine a componente mais simples possivel da velocidade em . Calcule a aceleração do fluido e determine o gradiente de pressão no ponto . Encontre a distribuição de pressão ao longo do eixo de positivo.
Quais, se existir algum, dos seguintes campos de escoamento são irrotacionais?
(a)
(b)
©
(d)
Um escoamento em onda de um fluido incompressível em uma superfície sólida segue um modelo senoidal. O escoamento é axissimétrico em torno do eixo , o qual é normal à superfície. A componente do escoamento segue o modelo
Determine (a) a componente radial do escoamento e (b) as componentes convectiva e local do vetor aceleração.
Água escoa do tanque através de um tubo muito curto. Admita que o escoamento é quase permanente e estime a vazão no instante mostrado. Como poderia melhorar o sistema de escoamento se uma vazão maior fosse desejada.