Se existir, faça um esboço da região do plano definida pelo sistema de desigualdades dados, nos seguintes casos:
(d)
e
.
(d)
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos fazer o esboço da região no plano definida pelo sistema de desigualdades:
Vamos usar conceitos de circunferências e parábolas para identificar e desenhar essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a desigualdade
. Essa expressão representa todas as coordenadas
cujo quadrado da distância até a origem está entre 4 e 25. Isso define uma região entre duas circunferências:
- A circunferência interna com raio
, dada por . - A circunferência externa com raio
, dada por .
Passo 3
Agora, vamos analisar as desigualdades
. Essas expressões definem uma faixa vertical limitada por duas parábolas:
- A parábola inferior
. - A parábola superior
.
Ambas as parábolas têm a mesma forma, mas estão deslocadas verticalmente.
Passo 4
Para encontrar a região que satisfaz todas as desigualdades, precisamos identificar a sobreposição entre a região anelar definida pelas circunferências e a faixa definida pelas parábolas. Isso significa que estamos procurando os pontos
que estão:
- Entre as circunferências de raio 2 e 5.
- Entre as parábolas
e .
Passo 5
Para esboçar essa região:
- Desenhe as duas circunferências
e . - Desenhe as duas parábolas
e . - Identifique a área que está dentro do anel formado pelas circunferências e também entre as duas parábolas.
Resposta
A região desejada é o conjunto de pontos no plano que estão entre as circunferências de raio 2 e 5 e, simultaneamente, entre as parábolas
e
. O esboço dessa área mostrará um anel circular limitado pelas circunferências e uma faixa vertical limitada pelas parábolas, com a região de interesse sendo a sobreposição dessas duas áreas.
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.