Se existir, faça um esboço da região do plano definida pelo sistema de desigualdades dados, nos seguintes casos:
(d) 4 < x^2 + y^2 < 25 e x^2 + 1 <= y <= x^2 + 3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos fazer o esboço da região no plano definida pelo sistema de desigualdades:
Vamos usar conceitos de circunferências e parábolas para identificar e desenhar essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a desigualdade . Essa expressão representa todas as coordenadas cujo quadrado da distância até a origem está entre 4 e 25. Isso define uma região entre duas circunferências:
  • A circunferência interna com raio , dada por .
  • A circunferência externa com raio , dada por .

Passo 3

Agora, vamos analisar as desigualdades . Essas expressões definem uma faixa vertical limitada por duas parábolas:
  • A parábola inferior .
  • A parábola superior .
Ambas as parábolas têm a mesma forma, mas estão deslocadas verticalmente.

Passo 4

Para encontrar a região que satisfaz todas as desigualdades, precisamos identificar a sobreposição entre a região anelar definida pelas circunferências e a faixa definida pelas parábolas. Isso significa que estamos procurando os pontos que estão:
  1. Entre as circunferências de raio 2 e 5.
  2. Entre as parábolas e .

Passo 5

Para esboçar essa região:
  1. Desenhe as duas circunferências e .
  2. Desenhe as duas parábolas e .
  3. Identifique a área que está dentro do anel formado pelas circunferências e também entre as duas parábolas.

Resposta

A região desejada é o conjunto de pontos no plano que estão entre as circunferências de raio 2 e 5 e, simultaneamente, entre as parábolas e . O esboço dessa área mostrará um anel circular limitado pelas circunferências e uma faixa vertical limitada pelas parábolas, com a região de interesse sendo a sobreposição dessas duas áreas.

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