Encontre a probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a probabilidade de que a distância de um ponto selecionado até a origem não seja maior do que
(onde
). Vamos usar conceitos de geometria e probabilidade para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar que estamos trabalhando no plano cartesiano, onde podemos representar qualquer ponto por suas coordenadas
. A distância de um ponto
à origem
é dada pela fórmula da distância:
Passo 3
Queremos saber a probabilidade de que essa distância
seja menor ou igual a
. Ou seja, queremos:
Substituindo a fórmula da distância, temos:
Passo 4
Vamos simplificar essa desigualdade ao quadrado para facilitar os cálculos:
Isso representa todos os pontos que estão dentro ou na circunferência de raio
centrada na origem.
Passo 5
Para calcular a probabilidade, precisamos considerar a área total possível em que o ponto pode ser selecionado. Vamos supor que o ponto seja escolhido aleatoriamente dentro de um quadrado de lado
centrado na origem. Isso significa que as coordenadas
e
variam de
a
.
A área total do quadrado é:
Passo 6
A área dos pontos que satisfazem
é a área de um círculo de raio
, que é:
Passo 7
A probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente esteja dentro desse círculo é a razão entre a área do círculo e a área do quadrado:
Resposta
A probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que
é
, aproximadamente 0,785.
Exercícios relacionados
Calcule as densidades marginais se X e Y têm densidade conjunta dada por:
Se existir, faça um esboço da região do plano definida pelo sistema de desigualdades dados, nos seguintes casos:
(d) e
.
(d)
(Deslocamento vertical) Se
é uma constante real positiva, então
(a) O gráfico de é movido
unidades para a cima se consideramos a nova função
(a) O gráfico de
Mostre que a substituição
transforma a equação
numa equaçăo de variáveis separáveis. Aplique esse método para resolver as equaçôes:
.