Encontre a probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que a (a > 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a probabilidade de que a distância de um ponto selecionado até a origem não seja maior do que (onde ). Vamos usar conceitos de geometria e probabilidade para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar que estamos trabalhando no plano cartesiano, onde podemos representar qualquer ponto por suas coordenadas . A distância de um ponto à origem é dada pela fórmula da distância:

Passo 3

Queremos saber a probabilidade de que essa distância seja menor ou igual a . Ou seja, queremos:
Substituindo a fórmula da distância, temos:

Passo 4

Vamos simplificar essa desigualdade ao quadrado para facilitar os cálculos:
Isso representa todos os pontos que estão dentro ou na circunferência de raio centrada na origem.

Passo 5

Para calcular a probabilidade, precisamos considerar a área total possível em que o ponto pode ser selecionado. Vamos supor que o ponto seja escolhido aleatoriamente dentro de um quadrado de lado centrado na origem. Isso significa que as coordenadas e variam de a .
A área total do quadrado é:
Á

Passo 6

A área dos pontos que satisfazem é a área de um círculo de raio , que é:
Áí

Passo 7

A probabilidade de que um ponto escolhido aleatoriamente esteja dentro desse círculo é a razão entre a área do círculo e a área do quadrado:
ÁíÁ

Resposta

A probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que é , aproximadamente 0,785.

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