Calcule as densidades marginais se X e Y têm densidade conjunta dada por:
f(x, y) = { 1/x, 0 <= y <= x <= 1; 0, otherwise }сс

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Cálculo de Probabilidades que pede para calcular as densidades marginais de duas variáveis aleatórias, e , que têm uma densidade conjunta dada por:
á
Para resolver isso, vamos precisar entender o que são densidades marginais e como obtê-las a partir da densidade conjunta. As densidades marginais de e são basicamente as distribuições individuais de cada variável, ignorando a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade marginal de , que a gente chama de . Para isso, a gente vai integrar a densidade conjunta em relação a . Ou seja:
Mas, olhando a função dada, sabemos que é diferente de zero apenas quando . Então, nossos limites de integração para vão de até .

Passo 3

Vamos fazer a integração para encontrar :
Aqui, é uma constante em relação a , então a gente pode simplificar a integral.

Passo 4

Integrando, temos:
Então, a densidade marginal de é simplesmente 1 nesse intervalo.

Passo 5

Agora, vamos calcular a densidade marginal de , que a gente chama de . Para isso, a gente vai integrar a densidade conjunta em relação a :
Novamente, olhando a função dada, sabemos que é diferente de zero apenas quando . Então, nossos limites de integração para vão de até .

Passo 6

Vamos fazer a integração para encontrar :
Essa integral envolve a função , cuja integral é o logaritmo natural.

Passo 7

Integrando, temos:
Então, a densidade marginal de é nesse intervalo.

Resposta

As densidades marginais são:
e

Exercícios relacionados

Se existir, faça um esboço da região do plano definida pelo sistema de desigualdades dados, nos seguintes casos:
(d) 4 < x^2 + y^2 < 25 e x^2 + 1 <= y <= x^2 + 3.
(Deslocamento vertical) Se k é uma constante real positiva, então
(b) O gráfico de y1 = f(x) é movido k unidades para baixo se consideramos
y2 = f(x) - k
Encontre a probabilidade de que a distância da origem ao ponto selecionado não seja maior do que a (a > 0).
(Deslocamento vertical) Se k é uma constante real positiva, então
(a) O gráfico de y1 = f(x) é movido k unidades para a cima se consideramos a nova função
y2 = f(x) + k