Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.
& u=k x(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 & v=k y(x^2+y^2+z^2)^3 / 2 & w=k z(x^2+y^2+z^2)^3 / 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo de velocidade dado é incompressível. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao estudo de divergência. Para resolver, a gente vai precisar calcular a divergência desse campo de velocidade e ver se ela é igual a zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de velocidade ser incompressível. Em termos simples, um fluido é incompressível se o seu volume não muda ao longo do tempo. No contexto de campos de velocidade, isso se traduz em a divergência do campo ser igual a zero.
Matematicamente, se tivermos um campo de velocidade $ \vec{V} = (u, v, w) $, a divergência $ \nabla \cdot \vec{V} $ é dada por:
V = (u, v, w)
Se essa soma for igual a zero, o campo é incompressível.

Passo 3

Vamos identificar os componentes do nosso campo de velocidade:
& u = k x(x^2 + y^2 + z^2)^3 / 2 & v = k y(x^2 + y^2 + z^2)^3 / 2 & w = k z(x^2 + y^2 + z^2)^3 / 2
Aqui, $ k $ é uma constante. Nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente.

Passo 4

Vamos começar calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $. Temos:
partial upartial x
Aplicamos a regra do produto:
u = k x (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2
Simplificando:
partial upartial x = k (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 + k x (-32) (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 cdot 2x

Passo 5

De maneira similar, calculamos $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
partial vpartial y
Aplicando a mesma regra do produto:
v = k y (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2

Passo 6

Agora, vamos calcular $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
partial wpartial z
Aplicando a regra do produto novamente:
w = k z (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2

Passo 7

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las para encontrar a divergência:
nabla cdot V = partial upartial x + partial vpartial y + partial wpartial z
Substituindo:
nabla cdot V = [k (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - 3k x^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2] + [k (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - 3k y^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2] + [k (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - 3k z^2 (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2]
Simplificando:
nabla cdot V = 3k (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2 - 3k (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 (x^2 + y^2 + z^2)
Note que $ (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \times \left(x^{2} + y^{2} + z{2}\right){-5/2} = \left(x^{2} + y^{2} + z{2}\right){-3/2} $, então:
(x^2 + y^2 + z^2) times (x^2 + y^2 + z^2)^-5/2 = (x^2 + y^2 + z^2)^-3/2

Resposta

O campo de velocidade dado é incompressível, já que a divergência $ \nabla \cdot \vec{V} $ é igual a zero.

Exercícios relacionados

Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a) u=2 x y-x^2+y e v=2 x y-y^2+x^2
(b) u=x t+2 y e v=x t^2-y t
© u=2 x^2+y^2-x^2 y e v=x^2+x(y^2-2 y)
(d) u=(x+2 y) x t e v=-(2 x+y) y t
Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por vx=Ax. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp. vy=-Ay )
Expanda (V cdot nabla) V em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente x é dada por:
u=k x y
Deduza a componente v de velocidade;