Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente verificar se o campo de velocidade dado é incompressível. Isso pertence à matéria de Cálculo Vetorial, mais especificamente ao estudo de divergência. Para resolver, a gente vai precisar calcular a divergência desse campo de velocidade e ver se ela é igual a zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de velocidade ser incompressível. Em termos simples, um fluido é incompressível se o seu volume não muda ao longo do tempo. No contexto de campos de velocidade, isso se traduz em a divergência do campo ser igual a zero.
Matematicamente, se tivermos um campo de velocidade $ \vec{V} = (u, v, w) $, a divergência $ \nabla \cdot \vec{V} $ é dada por:
Se essa soma for igual a zero, o campo é incompressível.
Passo 3
Vamos identificar os componentes do nosso campo de velocidade:
Aqui, $ k $ é uma constante. Nosso próximo passo é calcular as derivadas parciais de cada componente em relação à sua variável correspondente.
Passo 4
Vamos começar calculando $ \frac{\partial u}{\partial x} $. Temos:
Aplicamos a regra do produto:
Simplificando:
Passo 5
De maneira similar, calculamos $ \frac{\partial v}{\partial y} $:
Aplicando a mesma regra do produto:
Passo 6
Agora, vamos calcular $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
Aplicando a regra do produto novamente:
Passo 7
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las para encontrar a divergência:
Substituindo:
Simplificando:
Note que $ (x^{2} + y^{2} + z^{2}) \times \left(x^{2} + y^{2} + z{2}\right){-5/2} = \left(x^{2} + y^{2} + z{2}\right){-3/2} $, então:
Resposta
O campo de velocidade dado é incompressível, já que a divergência $ \nabla \cdot \vec{V} $ é igual a zero.
Exercícios relacionados
Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a)
(b)
© e
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por
. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp.
)
Expanda
em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.
É dado um campo de velocidade incompressível e irrotacional e cuja componente
é dada por:
Deduza a componente
de velocidade;