Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a) u=2 x y-x^2+y e v=2 x y-y^2+x^2
(b) u=x t+2 y e v=x t^2-y t
© u=2 x^2+y^2-x^2 y e v=x^2+x(y^2-2 y)
(d) u=(x+2 y) x t e v=-(2 x+y) y t

Passo 1

Ei! Vamos resolver essa questão juntos. O problema pede para identificarmos quais dos conjuntos de equações representam casos possíveis de escoamento bidimensional incompressível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência das funções de velocidade. Vamos precisar calcular a divergência das funções de velocidade $ u $ e $ v $ em cada opção para verificar se o fluxo é incompressível.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível em duas dimensões. Em termos simples, para que um fluxo seja incompressível, a quantidade de fluido que entra em um ponto deve ser igual à quantidade que sai desse ponto. Matematicamente, isso é expresso pela condição de que a divergência do campo de velocidade seja zero:
partial upartial x + partial vpartial y = 0
Onde:
  • $ u $ é a componente da velocidade na direção $ x $.
  • $ v $ é a componente da velocidade na direção $ y $.
Vamos aplicar essa condição a cada conjunto de equações apresentado.

Passo 3

Opção (a):
u = 2xy - x^2 + y e v = 2xy - y^2 + x^2
Vamos calcular as derivadas parciais:
partial upartial x = 2y - 2x partial vpartial y = 2x - 2y
Somando as derivadas:
partial upartial x + partial vpartial y = (2y - 2x) + (2x - 2y) = 0
Como a soma é zero, o escoamento é incompressível.

Passo 4

Opção (b):
u = xt + 2y e v = xt^2 - yt
Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = t partial vpartial y = -t
Somando as derivadas:
partial upartial x + partial vpartial y = t + (-t) = 0
A soma também é zero, então esse escoamento é incompressível.
Opção ©:
u = 2x^2 + y^2 - x^2y e v = x^2 + x(y^2 - 2y)
Calculando as derivadas parciais:
partial upartial x = 4x - 2xy partial vpartial y = 2xy - 2x
Somando as derivadas:
partial upartial x + partial vpartial y = (4x - 2xy) + (2xy - 2x) = 2x
A soma não é zero ( 2x), portanto, esse escoamento não é incompressível.

Passo 5

Opção (d):
u = (x + 2y)xt e v = -(2x + y)yt
Vamos expandir as equações primeiro:
u = x(x + 2y)t = x^2t + 2xyt v = -(2x + y)yt = -2x y t - y^2 t
Agora, calculamos as derivadas parciais:
partial upartial x = 2xt + 2yt partial vpartial y = -2xt - 2yt
Somando as derivadas:
partial upartial x + partial vpartial y = (2xt + 2yt) + (-2xt - 2yt) = 0
A soma é zero, então esse escoamento é incompressível.

Resposta

As opções que representam casos possíveis de escoamento bidimensional incompressível são a, b e d.

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