Quais dos seguintes conjuntos de equações representam possíveis casos de escoamento bidimensional incompressível? (Resp. a, b, d)
(a)
(b)
©
e
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Ei! Vamos resolver essa questão juntos. O problema pede para identificarmos quais dos conjuntos de equações representam casos possíveis de escoamento bidimensional incompressível. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente a divergência das funções de velocidade. Vamos precisar calcular a divergência das funções de velocidade $ u $ e $ v $ em cada opção para verificar se o fluxo é incompressível.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um escoamento ser incompressível em duas dimensões. Em termos simples, para que um fluxo seja incompressível, a quantidade de fluido que entra em um ponto deve ser igual à quantidade que sai desse ponto. Matematicamente, isso é expresso pela condição de que a divergência do campo de velocidade seja zero:
Onde:
- $ u $ é a componente da velocidade na direção $ x $.
- $ v $ é a componente da velocidade na direção $ y $.
Vamos aplicar essa condição a cada conjunto de equações apresentado.
Passo 3
Opção (a):
Vamos calcular as derivadas parciais:
Somando as derivadas:
Como a soma é zero, o escoamento é incompressível.
Passo 4
Opção (b):
Calculando as derivadas parciais:
Somando as derivadas:
A soma também é zero, então esse escoamento é incompressível.
Opção ©:
Calculando as derivadas parciais:
Somando as derivadas:
A soma não é zero (
), portanto, esse escoamento não é incompressível.
Passo 5
Opção (d):
Vamos expandir as equações primeiro:
Agora, calculamos as derivadas parciais:
Somando as derivadas:
A soma é zero, então esse escoamento é incompressível.
Resposta
As opções que representam casos possíveis de escoamento bidimensional incompressível são a, b e d.
Exercícios relacionados
Para um escoamento bidimensional no plano xy , a componente x da velocidade é dada por
. Determine uma possível componente y para escoamento permanente e incompressível. Quantas componentes y são possíveis? (Resp.
)
Considere um escoamento radial e unidimensional no plano
caracterizado por
e
. Determine as condições sobre
) necessárias para que o escoamento seja incompressível. (Resp.
).
Pode o seguinte campo de velocidade ser incompressível? Demonstre.
Expanda
em coordenadas retangulares pela substituição direta do vetor velocidade para obter a aceleração convectiva de uma partícula fluida.