Na experiência da fenda dupla, de que maneira a medição da trajetória da partícula, como determinar por qual fenda ela passou, altera o resultado observado?

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A questão fala sobre a experiência da fenda dupla e pergunta como medir a trajetória da partícula, ou seja, descobrir por qual fenda ela passou, muda o resultado que observamos. Vamos precisar entender um pouco de física quântica, especialmente sobre interferência e comportamento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a experiência da fenda dupla. Imagine que você tem uma fonte que emite partículas, como elétrons ou fótons, e duas fendas bem próximas. Quando as partículas passam pelas fendas e chegam a um anteparo, elas formam um padrão de interferência, que parece umas ondas se sobrepondo.

Passo 3

Esse padrão de interferência acontece porque as partículas estão em estado de superposição, ou seja, elas não passam por uma fenda específica, mas sim por ambas ao mesmo tempo, como ondas. As ondas provenientes de cada fenda se combinam, criando áreas de reforço e cancelamento, que formam aquelas franjas claras e escuras no anteparo.

Passo 4

Agora, quando a gente tenta medir a trajetória da partícula, ou seja, descobrir exatamente por qual fenda ela passou, a situação muda. Para fazer essa medição, precisamos interagir com a partícula de alguma forma, como lançar luz sobre ela ou usar algum dispositivo de detecção.

Passo 5

Essa interação com a partícula faz com que ela “escolha” uma das fendas para passar, colapsando o estado de superposição. Com isso, a partícula se comporta de forma mais “clássica”, como se fosse uma partícula comum passando por uma fenda específica, e não mais como uma onda passando por ambas.

Passo 6

Como resultado dessa medição, o padrão de interferência desaparece. Em vez disso, no anteparo, a gente vê um padrão mais parecido com o que veríamos se tivesse uma única fenda aberta, ou seja, duas bandas de impacto correspondendo às duas fendas, mas sem as franjas de interferência.

Resposta

Ao medir a trajetória da partícula e determinar por qual fenda ela passou, o padrão de interferência desaparece, fazendo com que as partículas se comportem como se passessem por uma fenda específica, alterando o resultado observado na experiência da fenda dupla.

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Explique a diferença entre a descrição clássica de uma partícula e a descrição quântica de um elétron no contexto da experiência da fenda dupla.
Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato, é uma função gaussiana, com desvio padrão , que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento é dada por:
onde . Mostre que o quadrado de é dado por:
onde
Observe que representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja, , é igual a . Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:
Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por: