Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato, é uma função gaussiana, com desvio padrão , que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento é dada por:
onde . Mostre que o quadrado de é dado por:
onde
Observe que representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja, , é igual a . Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:

Passo 1

Entendendo o problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição . Queremos descobrir como essa função se comporta no espaço do momento, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que nos conecta a função de onda no espaço posição com a função no espaço momento. Além disso, vamos explorar como as incertezas na posição ( ) e no momento ( ) estão relacionadas, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Calculando o quadrado da função de onda
Primeiro, vamos calcular o quadrado da função de onda :
Isso nos dá uma função gaussiana que representa a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição . O parâmetro é o desvio padrão dessa distribuição, indicando a incerteza na posição.

Passo 3

Transformada de Fourier para encontrar
Para passar do espaço posição para o espaço momento, usamos a transformada de Fourier:
Substituindo na integral, e após realizar a integração (que envolve propriedades das funções gaussianas e exponenciais), obtemos:

Passo 4

Simplificando a expressão de
Vamos simplificar a expressão de :
Isso mostra que também é uma função gaussiana, mas agora no espaço do momento.

Passo 5

Calculando o quadrado de , ou seja,
Agora, vamos calcular o quadrado de :
Aqui, é o desvio padrão da distribuição no espaço do momento, representando a incerteza no momento.

Passo 6

Relacionando com
A questão nos dá a relação entre e :
Isso mostra que a incerteza no momento é inversamente proporcional à incerteza na posição.

Passo 7

Verificando o princípio da incerteza de Heisenberg
Finalmente, multiplicamos as incertezas para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg:
Isso confirma que o produto das incertezas é igual a , que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza.

Resposta

O quadrado da função de onda no espaço do momento é dado por
onde e o produto das incertezas é , confirmando o princípio da incerteza de Heisenberg.

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Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Dada a seguinte função de onda:
prove que:
Usando essa função de onda , responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo