Considere a seguinte função de onda:
Psi(x)=e^-x^24 De
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
|Psi(x)|^2=e^-x^22 De
Nesse formato, |Psi(x)|^2 é uma função gaussiana, com desvio padrão De, que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento Phi(p) é dada por:
Phi(p)=1raiz2 pi hbar integral-infty^infty Psi(x) e^-i p xhbar d x=raiz[4]2pi e^-De
onde hbar=h /(2 pi). Mostre que o quadrado de Phi(p) é dado por:
|Phi(p)|^2=e^-p^22 De
onde
De
Observe que De representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja, De, é igual a hbar2. Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:

Passo 1

Entendendo o problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição . Queremos descobrir como essa função se comporta no espaço do momento, ou seja, encontrar . Para isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que nos conecta a função de onda no espaço posição com a função no espaço momento. Além disso, vamos explorar como as incertezas na posição ( ) e no momento ( ) estão relacionadas, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.

Passo 2

Calculando o quadrado da função de onda |Psi(x)|^2 = Psi(x) cdot Psi^*(x) = e^-x^22 De
Primeiro, vamos calcular o quadrado da função de onda :
Isso nos dá uma função gaussiana que representa a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição . O parâmetro é o desvio padrão dessa distribuição, indicando a incerteza na posição.

Passo 3

Transformada de Fourier para encontrar Phi(p) = 1raiz2 pi hbar integral-infty^infty Psi(x) e^-i p xhbar , dx
Para passar do espaço posição para o espaço momento, usamos a transformada de Fourier:
Phi(p) = raiz[4]2pi e^-De
Substituindo na integral, e após realizar a integração (que envolve propriedades das funções gaussianas e exponenciais), obtemos:

Passo 4

Simplificando a expressão de Phi(p) = raiz[4]2pi e^-De
Vamos simplificar a expressão de :
Isso mostra que também é uma função gaussiana, mas agora no espaço do momento.

Passo 5

Calculando o quadrado de |Phi(p)|^2 = Phi(p) cdot Phi^*(p) = e^-p^22 De, ou seja,
Agora, vamos calcular o quadrado de :
Aqui, é o desvio padrão da distribuição no espaço do momento, representando a incerteza no momento.

Passo 6

Relacionando De com
A questão nos dá a relação entre e :
Isso mostra que a incerteza no momento é inversamente proporcional à incerteza na posição.

Passo 7

Verificando o princípio da incerteza de Heisenberg
Finalmente, multiplicamos as incertezas para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg:
De
Isso confirma que o produto das incertezas é igual a , que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza.

Resposta

O quadrado da função de onda no espaço do momento é dado por
|Phi(p)|^2=e^-p^22 De
onde e o produto das incertezas é , confirmando o princípio da incerteza de Heisenberg.

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