Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato,
é uma função gaussiana, com desvio padrão
, que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento
é dada por:
onde
. Mostre que o quadrado de
é dado por:
onde
Observe que
representa a incerteza na medição do momento linear. A partir desse resultado, vemos que o produto das incertezas da posição com o
momento, ou seja,
, é igual a
. Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:
A representação da função de onda no espaço do momento
momento, ou seja,
Passo 1
Entendendo o problema
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma função de onda
que descreve a probabilidade de encontrar uma partícula em uma posição
. Queremos descobrir como essa função se comporta no espaço do momento, ou seja, encontrar
. Para isso, vamos precisar usar a transformada de Fourier, que nos conecta a função de onda no espaço posição com a função no espaço momento. Além disso, vamos explorar como as incertezas na posição (
) e no momento (
) estão relacionadas, de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg.
Passo 2
Calculando o quadrado da função de onda
Primeiro, vamos calcular o quadrado da função de onda
:
Isso nos dá uma função gaussiana que representa a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
. O parâmetro
é o desvio padrão dessa distribuição, indicando a incerteza na posição.
Passo 3
Transformada de Fourier para encontrar
Para passar do espaço posição para o espaço momento, usamos a transformada de Fourier:
Substituindo
na integral, e após realizar a integração (que envolve propriedades das funções gaussianas e exponenciais), obtemos:
Passo 4
Simplificando a expressão de
Vamos simplificar a expressão de
:
Isso mostra que
também é uma função gaussiana, mas agora no espaço do momento.
Passo 5
Calculando o quadrado de
, ou seja,
Agora, vamos calcular o quadrado de
:
Aqui,
é o desvio padrão da distribuição no espaço do momento, representando a incerteza no momento.
Passo 6
Relacionando
com
A questão nos dá a relação entre
e
:
Isso mostra que a incerteza no momento é inversamente proporcional à incerteza na posição.
Passo 7
Verificando o princípio da incerteza de Heisenberg
Finalmente, multiplicamos as incertezas para verificar o princípio da incerteza de Heisenberg:
Isso confirma que o produto das incertezas é igual a
, que é o limite mínimo estabelecido pelo princípio da incerteza.
Resposta
O quadrado da função de onda no espaço do momento é dado por
onde
e o produto das incertezas é
, confirmando o princípio da incerteza de Heisenberg.
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, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo
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onde:
-
, -
é a massa da partícula, -
é a função de onda da partícula, e -
é a energia da partícula.
Além disso, a função de ondadeve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro
como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Aplicando a primeira condição de fronteira
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira
:
Para que
e
, devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de
são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que
é dado por:
Para isso, substitua
na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Dada a seguinte função de onda:
prove que:
Usando essa função de onda
, responda à seguinte pergunta: qual é a probabilidade de encontrar a partícula no intervalo