Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho , ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo . O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
  • ,
  • é a massa da partícula,
  • é a função de onda da partícula, e
  • é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde e são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira :
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira :
Para que e , devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que é dado por:
Para isso, substitua na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula presa numa caixa unidimensional de tamanho . A gente está trabalhando com a equação de Schrödinger independente do tempo, que descreve o comportamento quântico dessa partícula. O que a gente precisa resolver aqui é provar que a constante na função de onda normalizada é igual a . Para isso, vamos usar a condição de normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa seja 1. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição . Para que tudo faça sentido fisicamente, a integral da probabilidade em toda a extensão da caixa deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que a área sob o gráfico de de a deve ser exatamente 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda na condição de normalização. Já sabemos que:
Então, o módulo ao quadrado dessa função é:
Substituindo isso na integral de normalização, temos:

Passo 4

Vamos agora resolver essa integral para encontrar o valor de . Primeiro, podemos tirar o de fora da integral, já que é uma constante:
Lembrando que a integral de de 0 a é:
No nosso caso, , então a integral fica:
Isso porque de múltiplos inteiros de é zero, simplificando a expressão.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na equação, temos:
Para encontrar , isolamos a constante:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Portanto, a constante na função de onda normalizada é:

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Considere a seguinte função de onda:
Ao calcular o quadrado da função de onda, obtemos:
Nesse formato, é uma função gaussiana, com desvio padrão , que corresponde à incerteza na medição da posição.
A representação da função de onda no espaço do momento é dada por:
onde . Mostre que o quadrado de é dado por:
onde
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momento, ou seja, , é igual a . Essa incerteza mínima está de acordo com o princípio da incerteza de Heisenberg, que é dado por:
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