Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho a, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo 0 <= x <= a. O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x)
onde:
  • hbar=h /(2 pi),
  • m é a massa da partícula,
  • psi(x) é a função de onda da partícula, e
  • E é a energia da partícula.
    Além disso, a função de onda psi(x) deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
psi(0)=0 e psi(a)=0
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2=E psi(x)
Rearranjando a equação:
d^2 psi(x)d x^2=-2 m Ehbar^2 psi(x)
Definindo o parâmetro k como:
k=raiz2 m Ehbar
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
d^2 psi(x)d x^2=-k^2 psi(x)
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
psi(x)=A sin (k x)+B cos (k x)
onde A e B são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira psi(0)=0 :
psi(0)=A sin (0)+B cos (0)=B=0
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
psi(x)=A sin (k x)
Aplicando a segunda condição de fronteira psi(a)=0 :
psi(a)=A sin (k a)=0
Para que psi(a)=0 e A neq 0, devemos ter:
sin (k a)=0
Isso ocorre quando:
k=n pia, n=1,2,3, ldots
Portanto, os valores permitidos de k são quantizados, e a função de onda assume a forma:
psin(x)=An sin (n pi xa), n=1,2,3, ldots
Prove que An é dado por:
An=raiz2a
Para isso, substitua psin(x) na condição de normalização e realize a integral:
integral0^a|psin(x)|^2 d x=1
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
psin(x)=raiz2a sin (n pi xa), n=1,2,3, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma partícula presa numa caixa unidimensional de tamanho . A gente está trabalhando com a equação de Schrödinger independente do tempo, que descreve o comportamento quântico dessa partícula. O que a gente precisa resolver aqui é provar que a constante na função de onda normalizada é igual a . Para isso, vamos usar a condição de normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa seja 1. Vamos resolver isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda integral0^a |psin(x)|^2 dx = 1 descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição . Para que tudo faça sentido fisicamente, a integral da probabilidade em toda a extensão da caixa deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que a área sob o gráfico de de a deve ser exatamente 1.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda psin(x) = An sin (n pi xa) na condição de normalização. Já sabemos que:
|psin(x)|^2 = An^2 sin^2 (n pi xa)
Então, o módulo ao quadrado dessa função é:
integral0^a An^2 sin^2 (n pi xa) dx = 1
Substituindo isso na integral de normalização, temos:

Passo 4

Vamos agora resolver essa integral para encontrar o valor de An^2 integral0^a sin^2 (n pi xa) dx = 1 . Primeiro, podemos tirar o integral sin^2(kx) dx = a2 - sin(2ka)4k de fora da integral, já que é uma constante:
integral0^a sin^2 (n pi xa) dx = a2
Lembrando que a integral de de 0 a é:
No nosso caso, , então a integral fica:
Isso porque de múltiplos inteiros de é zero, simplificando a expressão.

Passo 5

Substituindo o resultado da integral de volta na equação, temos:
An^2 cdot a2 = 1
Para encontrar An^2 = 2a , isolamos a constante:
An = raiz2a
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:

Resposta

Portanto, a constante An = raiz2a na função de onda normalizada é:

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