Considere uma partícula confinada em uma caixa unidimensional de tamanho
, ou seja, a partícula só pode se mover no intervalo
. O comportamento da partícula é descrito pela equação de Schrödinger independente do tempo:
onde:
-
,
-
é a massa da partícula,
-
é a função de onda da partícula, e
-
é a energia da partícula.
Além disso, a função de onda
deve satisfazer as seguintes condições de fronteira:
que representam o confinamento da partícula dentro da caixa.
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Rearranjando a equação:
Definindo o parâmetro
como:
a equação de Schrödinger pode ser reescrita como:
Prove por substituição direta que a solução geral dessa equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes que, posteriormente, serão determinadas pelas condições de fronteira.
Aplicando a primeira condição de fronteira
:
Portanto, a função de onda simplifica-se para:
Aplicando a segunda condição de fronteira
:
Para que
e
, devemos ter:
Isso ocorre quando:
Portanto, os valores permitidos de
são quantizados, e a função de onda assume a forma:
Prove que
é dado por:
Para isso, substitua
na condição de normalização e realize a integral:
Assim, a função de onda normalizada é dada por:
Além disso, a função de onda
A equação de Schrödinger independente do tempo, em sua forma unidimensional, é dada por:
Aplicando a primeira condição de fronteira
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma partícula presa numa caixa unidimensional de tamanho
. A gente está trabalhando com a equação de Schrödinger independente do tempo, que descreve o comportamento quântico dessa partícula. O que a gente precisa resolver aqui é provar que a constante
na função de onda normalizada é igual a
. Para isso, vamos usar a condição de normalização, que garante que a probabilidade total de encontrar a partícula na caixa seja 1. Vamos resolver isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é a condição de normalização. Em mecânica quântica, a função de onda
descreve a probabilidade de encontrar a partícula em uma posição
. Para que tudo faça sentido fisicamente, a integral da probabilidade em toda a extensão da caixa deve ser igual a 1. Matematicamente, isso é representado por:
Isso significa que a área sob o gráfico de
de
a
deve ser exatamente 1.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda
na condição de normalização. Já sabemos que:
Então, o módulo ao quadrado dessa função é:
Substituindo isso na integral de normalização, temos:
Passo 4
Vamos agora resolver essa integral para encontrar o valor de
. Primeiro, podemos tirar o
de fora da integral, já que é uma constante:
Lembrando que a integral de
de 0 a
é:
No nosso caso,
, então a integral fica:
Isso porque
de múltiplos inteiros de
é zero, simplificando a expressão.
Passo 5
Substituindo o resultado da integral de volta na equação, temos:
Para encontrar
, isolamos a constante:
Agora, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
Portanto, a constante
na função de onda normalizada é: