A experiência mostra que, em média, 10 % das pessoas que fazem reservas de mesa num certo restaurante deixam de comparecer. Se o restaurante tem 40 mesas e aceita 42 reservas, qual a probabilidade de que seja capaz de acomodar todos os clientes?

Passo 1

Vamos começar entendendo o enunciado: em um restaurante, 10% das pessoas que fazem reservas não comparecem. O restaurante tem 40 mesas e aceitou 42 reservas. Precisamos descobrir a probabilidade de que todas as pessoas que realmente comparecerem consigam uma mesa.
Para resolver isso, vamos usar a Distribuição Binomial, que é útil quando temos um número fixo de tentativas independentes, cada uma com duas possíveis resultados (neste caso, comparecer ou não). Precisamos calcular a probabilidade de que no máximo 40 das 42 reservas se concretizem.

Passo 2

Primeiro, definimos os parâmetros da distribuição binomial:
  • n (número de tentativas) = 42 reservas
  • p (probabilidade de sucesso, ou seja, a pessoa comparecer) = 0,9
  • k (número de sucessos) = 40 mesas disponíveis
Queremos calcular a probabilidade de que k ≤ 40 pessoas compareçam.

Passo 3

A fórmula da probabilidade binomial é:
P(X = k) = binomnk times p^k times (1-p)^n-k
Onde:
  • é o coeficiente binomial, calculado como
  • é a probabilidade de k sucessos
  • é a probabilidade de (n-k) fracassos

Passo 4

Para encontrar P(X <= 40) = sumk=0^40 binom42k times 0,9^k times 0,1^42-k , precisamos somar as probabilidades de 0 até 40 pessoas compararem:

Passo 5

Esse cálculo pode ser complexo manualmente, então usamos uma calculadora científica ou software estatístico que possua funções de distribuição binomial acumulada.

Passo 6

Usando uma calculadora ou software, inserimos os valores:
Calculamos .

Passo 7

Após realizar os cálculos, obtemos o valor da probabilidade desejada.

Resposta

A probabilidade de que o restaurante consiga acomodar todos os clientes é aproximadamente 94,5%.

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