A experiência tem comprovado que mais de dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Se 45 de 90 estudantes amostrados fossem reprovados, o que se pode concluir a respeito desta afirmação. Teste esta hipótese ao nível de significância de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que mais de 40% dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Queremos verificar se, com base na amostra de 90 estudantes onde 45 foram reprovados, essa afirmação é verdadeira. Para isso, vamos utilizar teste de hipótese sobre proporções, que nos ajuda a decidir se uma afirmação sobre uma proporção populacional é verdadeira com base em dados de amostra. Vamos precisar usar a fórmula do teste para proporções e calcular o valor crítico para o nível de significância de 4%.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula ( ): A proporção de reprovação é menor ou igual a 40%, ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A proporção de reprovação é maior que 40%, ou seja, .
Estamos testando se mais de 40% dos estudantes são reprovados, então a hipótese alternativa reflete isso.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra ( ):
ú
Então, na amostra, 50% dos estudantes foram reprovados.

Passo 4

Para realizar o teste, vamos calcular o erro padrão ( ) da proporção, usando a proporção da hipótese nula ( ):

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste estatístico ( ) usando a fórmula:

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 4% ( ). Como a hipótese alternativa é unilateral (proporção maior que 40%), procuramos o valor de que deixa 4% na cauda direita da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para é aproximadamente .

Passo 7

Comparamos o valor do teste estatístico com o valor crítico :
Como é maior que , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base na amostra de 90 estudantes, onde 45 foram reprovados (50%), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 4%. Portanto, há evidências estatísticas suficientes para concluir que mais de 40% dos estudantes são reprovados na prova de estatística.

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