A experiência tem comprovado que mais de
dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Se 45 de 90 estudantes amostrados fossem reprovados, o que se pode concluir a respeito desta afirmação. Teste esta hipótese ao nível de significância de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que mais de 40% dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Queremos verificar se, com base na amostra de 90 estudantes onde 45 foram reprovados, essa afirmação é verdadeira. Para isso, vamos utilizar teste de hipótese sobre proporções, que nos ajuda a decidir se uma afirmação sobre uma proporção populacional é verdadeira com base em dados de amostra. Vamos precisar usar a fórmula do teste para proporções e calcular o valor crítico para o nível de significância de 4%.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
- Hipótese nula (
): A proporção de reprovação é menor ou igual a 40%, ou seja, . - Hipótese alternativa (
): A proporção de reprovação é maior que 40%, ou seja, .
Estamos testando se mais de 40% dos estudantes são reprovados, então a hipótese alternativa reflete isso.
Passo 3
Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra (
):
Então, na amostra, 50% dos estudantes foram reprovados.
Passo 4
Para realizar o teste, vamos calcular o erro padrão (
) da proporção, usando a proporção da hipótese nula (
):
Passo 5
Em seguida, calculamos o valor do teste estatístico (
) usando a fórmula:
Passo 6
Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 4% (
). Como a hipótese alternativa é unilateral (proporção maior que 40%), procuramos o valor de
que deixa 4% na cauda direita da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para
é aproximadamente
.
Passo 7
Comparamos o valor do teste estatístico
com o valor crítico
:
Como
é maior que
, rejeitamos a hipótese nula.
Resposta
Com base na amostra de 90 estudantes, onde 45 foram reprovados (50%), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 4%. Portanto, há evidências estatísticas suficientes para concluir que mais de 40% dos estudantes são reprovados na prova de estatística.
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.
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