A experiência tem comprovado que mais de 40 % dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Se 45 de 90 estudantes amostrados fossem reprovados, o que se pode concluir a respeito desta afirmação. Teste esta hipótese ao nível de significância de 4 %.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos diz que mais de 40% dos estudantes são reprovados em uma prova de estatística. Queremos verificar se, com base na amostra de 90 estudantes onde 45 foram reprovados, essa afirmação é verdadeira. Para isso, vamos utilizar teste de hipótese sobre proporções, que nos ajuda a decidir se uma afirmação sobre uma proporção populacional é verdadeira com base em dados de amostra. Vamos precisar usar a fórmula do teste para proporções e calcular o valor crítico para o nível de significância de 4%.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses do teste:
  • Hipótese nula ( ): A proporção de reprovação é menor ou igual a 40%, ou seja, .
  • Hipótese alternativa ( ): A proporção de reprovação é maior que 40%, ou seja, .
Estamos testando se mais de 40% dos estudantes são reprovados, então a hipótese alternativa reflete isso.

Passo 3

Agora, vamos calcular a proporção observada na amostra ( p = número de reprovadostotal de estudantes = 4590 = 0,5 ):
ú
Então, na amostra, 50% dos estudantes foram reprovados.

Passo 4

Para realizar o teste, vamos calcular o erro padrão ( SE = raizp0 (1 - p0)n = raiz0,40 times 0,6090 = raiz0,2490 approx raiz0,0026667 approx 0,0516 ) da proporção, usando a proporção da hipótese nula ( ):

Passo 5

Em seguida, calculamos o valor do teste estatístico ( z = p - p0SE = 0,5 - 0,400,0516 approx 0,100,0516 approx 1,94 ) usando a fórmula:

Passo 6

Agora, vamos determinar o valor crítico para o nível de significância de 4% ( ). Como a hipótese alternativa é unilateral (proporção maior que 40%), procuramos o valor de que deixa 4% na cauda direita da distribuição normal padrão.
Consultando a tabela z ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico para é aproximadamente .

Passo 7

Comparamos o valor do teste estatístico z = 1,94 > zcrit = 1,75 com o valor crítico :
Como é maior que , rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base na amostra de 90 estudantes, onde 45 foram reprovados (50%), rejeitamos a hipótese nula ao nível de significância de 4%. Portanto, há evidências estatísticas suficientes para concluir que mais de 40% dos estudantes são reprovados na prova de estatística.

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