Suponha que a probabilidade com que um bit transmitido através de um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que a v. a.
seja o número de bits transmitidos até que o primeiro erro seja encontrado, e que as transmissões sejam eventos independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos corretamente e que o quinto tenha erro?
(b) Qual é o número médio de transmissões até que o primeiro erro seja encontrado?
© Calculo o desvio-padrão.
(a) Qual é a probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos corretamente e que o quinto tenha erro?
(b) Qual é o número médio de transmissões até que o primeiro erro seja encontrado?
© Calculo o desvio-padrão.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que fala sobre a probabilidade de erro na transmissão de bits em um canal digital. O que a gente precisa aqui é entender o que acontece quando transmitimos bits e queremos saber quanto tempo (ou quantos bits) até que ocorra o primeiro erro. Para isso, vamos usar a distribuição geométrica, que é perfeita para esse tipo de problema onde estamos buscando a primeira ocorrência de um evento específico, no caso, um erro.
Passo 2
Parte (a): Probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos corretamente e que o quinto tenha erro.
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos que os quatro primeiros bits sejam sem erro e que o quinto bit tenha erro. Como cada transmissão é independente, a probabilidade de cada evento pode ser multiplicada.
A probabilidade de um bit ser transmitido corretamente é 0,9 (já que a chance de erro é 0,1). Então, a probabilidade de quatro bits serem transmitidos corretamente é
.
Finalmente, a probabilidade de que o quinto bit tenha erro é 0,1.
Portanto, a probabilidade total é:
Passo 3
Parte (b): Número médio de transmissões até que o primeiro erro seja encontrado.
Aqui, queremos saber qual é o valor esperado de transmissões até ocorrer o primeiro erro. Na distribuição geométrica, o valor esperado
é dado por:
Onde
é a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de ocorrer um erro, que é 0,1.
Então, substituindo:
Isso significa que, em média, esperamos que ocorra um erro a cada 10 transmissões.
Passo 4
Parte ©: Cálculo do desvio-padrão.
O desvio-padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. Na distribuição geométrica, o desvio-padrão
é calculado pela fórmula:
Substituindo
:
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 9,49 transmissões.
Resposta
(a) A probabilidade é
(b) O número médio de transmissões é 10
© O desvio-padrão é aproximadamente 9,49
(b) O número médio de transmissões é 10
© O desvio-padrão é aproximadamente 9,49