Suponha que a probabilidade com que um bit transmitido através de um canal digital de transmissão seja recebido com erro é de 0,1. Suponha que a v. a. X seja o número de bits transmitidos até que o primeiro erro seja encontrado, e que as transmissões sejam eventos independentes.
(a) Qual é a probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos corretamente e que o quinto tenha erro?
(b) Qual é o número médio de transmissões até que o primeiro erro seja encontrado?
© Calculo o desvio-padrão.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que fala sobre a probabilidade de erro na transmissão de bits em um canal digital. O que a gente precisa aqui é entender o que acontece quando transmitimos bits e queremos saber quanto tempo (ou quantos bits) até que ocorra o primeiro erro. Para isso, vamos usar a distribuição geométrica, que é perfeita para esse tipo de problema onde estamos buscando a primeira ocorrência de um evento específico, no caso, um erro.

Passo 2

Parte (a): Probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos corretamente e que o quinto tenha erro.

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Queremos que os quatro primeiros bits sejam sem erro e que o quinto bit tenha erro. Como cada transmissão é independente, a probabilidade de cada evento pode ser multiplicada.
A probabilidade de um bit ser transmitido corretamente é 0,9 (já que a chance de erro é 0,1). Então, a probabilidade de quatro bits serem transmitidos corretamente é P(X=5) = (0,9)^4 times 0,1 .
Finalmente, a probabilidade de que o quinto bit tenha erro é 0,1.
Portanto, a probabilidade total é:

Passo 3

Parte (b): Número médio de transmissões até que o primeiro erro seja encontrado.

Aqui, queremos saber qual é o valor esperado de transmissões até ocorrer o primeiro erro. Na distribuição geométrica, o valor esperado E[X] = 1p é dado por:
E[X] = 10,1 = 10
Onde é a probabilidade de sucesso, ou seja, a probabilidade de ocorrer um erro, que é 0,1.
Então, substituindo:
Isso significa que, em média, esperamos que ocorra um erro a cada 10 transmissões.

Passo 4

Parte ©: Cálculo do desvio-padrão.

O desvio-padrão mede a dispersão dos dados em relação à média. Na distribuição geométrica, o desvio-padrão sigma = raiz1 - pp^2 é calculado pela fórmula:
sigma = raiz1 - 0,1(0,1)^2 = raiz0,90,01 = raiz90 approx 9,4868
Substituindo :
Então, o desvio-padrão é aproximadamente 9,49 transmissões.

Resposta

(a) A probabilidade é
(b) O número médio de transmissões é 10
© O desvio-padrão é aproximadamente 9,49

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