A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal, com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu média 140 min. Determinar os limites de confiança de 95 % para a média mu da população de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço. Qual o erro cometido ao estimarmos este intervalo de confiança?

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício quer dizer. A gente sabe que o tempo que um trabalhador leva para fazer uma tarefa segue uma distribuição normal. A média dessas tarefas é o que queremos descobrir para toda a população de trabalhadores dessa indústria. A gente tem um desvio padrão de 12 minutos e uma amostra de 25 trabalhadores, onde a média foi de 140 minutos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Intervalo de Confiança na estatística, que nos ajuda a estimar a média da população com uma certa margem de erro.

Passo 2

Como estamos falando de uma distribuição normal e o desvio padrão da população ( sigma) é conhecido, vamos usar a distribuição Z para calcular nosso intervalo de confiança. A fórmula básica para o intervalo de confiança é:
barx pm zalpha/2 cdot sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média da amostra.
  • zalpha/2 é o valor crítico da distribuição Z para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão da população.
  • n é o tamanho da amostra.

Passo 3

Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico zalpha/2 é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que 95% dos nossos dados estejam dentro desse intervalo ao redor da média.

Passo 4

Vamos calcular o erro padrão, que é a parte que multiplica o valor crítico na fórmula:
sigmaraizn = 12raiz25 = 125 = 2,4

Passo 5

Agora, calculamos o Erro Cometido na Estimativa, que é o produto do valor crítico pelo erro padrão:
Erro = zalpha/2 cdot sigmaraizn = 1,96 cdot 2,4 = 4,704

Passo 6

Finalmente, montamos o intervalo de confiança usando a média da amostra e o erro calculado:
140 pm 4,704
Isso significa que o intervalo vai de:
140 - 4,704 = 135,296
até
140 + 4,704 = 144,704

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média mu da população é entre 135,3 minutos e 144,7 minutos. O erro cometido ao estimar esse intervalo de confiança é de aproximadamente 4,7 minutos.

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