A experiência com trabalhadores de uma certa indústria indica que o tempo necessário para que um trabalhador, aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído de maneira aproximadamente normal, com desvio padrão de 12 minutos. Uma amostra de 25 trabalhadores forneceu média 140 min. Determinar os limites de confiança de
para a média
da população de todos os trabalhadores que fazem aquele determinado serviço. Qual o erro cometido ao estimarmos este intervalo de confiança?
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício quer dizer. A gente sabe que o tempo que um trabalhador leva para fazer uma tarefa segue uma distribuição normal. A média dessas tarefas é o que queremos descobrir para toda a população de trabalhadores dessa indústria. A gente tem um desvio padrão de 12 minutos e uma amostra de 25 trabalhadores, onde a média foi de 140 minutos. Para resolver isso, vamos usar o conceito de Intervalo de Confiança na estatística, que nos ajuda a estimar a média da população com uma certa margem de erro.
Passo 2
Como estamos falando de uma distribuição normal e o desvio padrão da população (
) é conhecido, vamos usar a distribuição Z para calcular nosso intervalo de confiança. A fórmula básica para o intervalo de confiança é:
Onde:
-
é a média da amostra. -
é o valor crítico da distribuição Z para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão da população. -
é o tamanho da amostra.
Passo 3
Para um nível de confiança de 95%, o valor crítico
é aproximadamente 1,96. Isso significa que queremos que 95% dos nossos dados estejam dentro desse intervalo ao redor da média.
Passo 4
Vamos calcular o erro padrão, que é a parte que multiplica o valor crítico na fórmula:
Passo 5
Agora, calculamos o Erro Cometido na Estimativa, que é o produto do valor crítico pelo erro padrão:
Passo 6
Finalmente, montamos o intervalo de confiança usando a média da amostra e o erro calculado:
Isso significa que o intervalo vai de:
até
Resposta
O intervalo de confiança de
para a média
da população é entre 135,3 minutos e 144,7 minutos. O erro cometido ao estimar esse intervalo de confiança é de aproximadamente 4,7 minutos.
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a) Que tamanho deve ter uma amostra para que, com probabilidade
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de
(Que suposições você fez para responder as questões acima?)