(Problema 15) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
a) Que tamanho deve ter uma amostra para que, com probabilidade
, o erro em estimar a média seja superior a uma unidade?
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
?
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de
a confiança na estimativa
(Que suposições você fez para responder as questões acima?)
a) Que tamanho deve ter uma amostra para que, com probabilidade
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de
(Que suposições você fez para responder as questões acima?)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Estamos trabalhando com estatística, mais especificamente com estimativas de médias e intervalos de confiança. A gente tem 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, e tiramos uma amostra de 400 válvulas. Nessa amostra, a vida média foi de 800 horas e o desvio padrão foi de 100 horas. Vamos precisar usar conceitos de amostragem e inferência estatística para resolver as partes a), b) e c) desse exercício.
Passo 2
Parte a): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que, com uma probabilidade de 8%, o erro ao estimar a média seja superior a uma unidade.
Primeiro, precisamos entender que o erro na estimativa da média está relacionado ao intervalo de confiança. Aqui, queremos que o erro seja maior que 1 unidade com 8% de probabilidade. Na prática, isso significa que queremos que em 92% das vezes o erro seja menor ou igual a 1.
Usamos a fórmula do erro máximo
para o intervalo de confiança:
Onde:
-
é o erro máximo permitido (1) -
é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (92% de confiança) -
é o desvio padrão (100) -
é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Primeiro, vamos encontrar o valor de
para 92% de confiança. Como a distribuição é simétrica, cada cauda terá
. Consultando uma tabela z, o valor correspondente a 96% (porque somamos 4% à metade) é aproximadamente 1,75.
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar
:
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para 31.
Passo 3
Parte b): Queremos saber com que confiança podemos dizer que a vida média está em
.
Aqui, o erro permitido
é 0,98. Usamos a mesma fórmula do erro máximo:
Substituindo os valores:
Agora, precisamos encontrar o nível de confiança correspondente a esse valor de
. O valor
corresponde a uma área de aproximadamente 0,577 (ou 57,7%) à esquerda. Como a distribuição é simétrica, o nível de confiança é
ou 15,4%.
Passo 4
Parte c): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que haja 95% de confiança na estimativa
.
Aqui,
e o nível de confiança é 95%, que corresponde a um valor
de aproximadamente 1,96.
Usamos a fórmula do tamanho da amostra:
Então, precisamos de uma amostra de 625 válvulas.
Passo 5
Suposições feitas:
- Distribuição Normal: Assumimos que a distribuição das vidas das válvulas é aproximadamente normal, o que justifica o uso da distribuição
para os cálculos. - Amostragem Aleatória: Consideramos que a amostra foi selecionada de forma aleatória e representativa da população total de 50.000 válvulas.
- Desvio Padrão Conhecido: Trabalhamos com o desvio padrão da amostra como uma boa estimativa do desvio padrão da população.
Resposta
a) O tamanho da amostra deve ser 31 válvulas.
b) Podemos dizer com 15,4% de confiança que a vida média está em
.
c) O tamanho da amostra necessário é de 625 válvulas.