(Problema 15) De 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, retira-se uma amostra de 400 válvulas, e obtém-se a vida média de 800 horas e o desvio padrão de 100 horas.
a) Que tamanho deve ter uma amostra para que, com probabilidade 8 %, o erro em estimar a média seja superior a uma unidade?
b) Com que confiança dir-se-ia que a vida média é 800 pm 0,98 ?
c) Que tamanho deve ter a amostra para que seja de 95 % a confiança na estimativa 800 pm 7,84 ?
(Que suposições você fez para responder as questões acima?)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que temos aqui. Estamos trabalhando com estatística, mais especificamente com estimativas de médias e intervalos de confiança. A gente tem 50.000 válvulas fabricadas por uma companhia, e tiramos uma amostra de 400 válvulas. Nessa amostra, a vida média foi de 800 horas e o desvio padrão foi de 100 horas. Vamos precisar usar conceitos de amostragem e inferência estatística para resolver as partes a), b) e c) desse exercício.

Passo 2

Parte a): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que, com uma probabilidade de 8%, o erro ao estimar a média seja superior a uma unidade.
Primeiro, precisamos entender que o erro na estimativa da média está relacionado ao intervalo de confiança. Aqui, queremos que o erro seja maior que 1 unidade com 8% de probabilidade. Na prática, isso significa que queremos que em 92% das vezes o erro seja menor ou igual a 1.
Usamos a fórmula do erro máximo E = z times sigmaraizn para o intervalo de confiança:
n = ( z times sigmaE )^2 = ( 1,75 times 1001 )^2 = (175)^2 = 30.625
Onde:
  • é o erro máximo permitido (1)
  • é o valor crítico da distribuição normal correspondente ao nível de confiança (92% de confiança)
  • é o desvio padrão (100)
  • é o tamanho da amostra que queremos encontrar
Primeiro, vamos encontrar o valor de para 92% de confiança. Como a distribuição é simétrica, cada cauda terá . Consultando uma tabela z, o valor correspondente a 96% (porque somamos 4% à metade) é aproximadamente 1,75.
Agora, rearranjamos a fórmula para encontrar :
Como não podemos ter uma fração de amostra, arredondamos para 31.

Passo 3

Parte b): Queremos saber com que confiança podemos dizer que a vida média está em E = z times sigmaraizn .
Aqui, o erro permitido 0,98 = z times 100raiz400 Rightarrow 0,98 = z times 5 Rightarrow z = 0,985 = 0,196 é 0,98. Usamos a mesma fórmula do erro máximo:
Substituindo os valores:
Agora, precisamos encontrar o nível de confiança correspondente a esse valor de . O valor corresponde a uma área de aproximadamente 0,577 (ou 57,7%) à esquerda. Como a distribuição é simétrica, o nível de confiança é ou 15,4%.

Passo 4

Parte c): Queremos determinar o tamanho da amostra necessário para que haja 95% de confiança na estimativa n = ( z times sigmaE )^2 = ( 1,96 times 1007,84 )^2 = ( 1967,84 )^2 = (25)^2 = 625 .
Aqui, e o nível de confiança é 95%, que corresponde a um valor de aproximadamente 1,96.
Usamos a fórmula do tamanho da amostra:
Então, precisamos de uma amostra de 625 válvulas.

Passo 5

Suposições feitas:
  1. Distribuição Normal: Assumimos que a distribuição das vidas das válvulas é aproximadamente normal, o que justifica o uso da distribuição para os cálculos.
  2. Amostragem Aleatória: Consideramos que a amostra foi selecionada de forma aleatória e representativa da população total de 50.000 válvulas.
  3. Desvio Padrão Conhecido: Trabalhamos com o desvio padrão da amostra como uma boa estimativa do desvio padrão da população.

Resposta

a) O tamanho da amostra deve ser 31 válvulas.
b) Podemos dizer com 15,4% de confiança que a vida média está em .
c) O tamanho da amostra necessário é de 625 válvulas.

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